1、5.4数系的扩充与复数的引入必备知识预案自诊知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(aR,bR)的数叫做复数,其中实部为,虚部为当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b0时,a+bi为纯虚数;当b0时,a+bi为虚数复数相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+bi与c+di共轭(a,b,c,dR)实数a的共轭复数是a本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z=a+bi(a,bR),则向量OZ
2、的长度叫做复数z=a+bi(a,bR)的模,记作|z|或|a+bi|z|=|a+bi|=a2+b2(a,bR)2.复数的几何意义3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+di0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有
3、z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(3)复数加、减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数;复数z1-z2是OZ1-OZ2=Z2Z1所对应的复数.1.(1i)2=2i;1+i1-i=i;1-i1+i=-i.2.-b+ai=i(a+bi)(a,bR).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nN*).5.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a|z|b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;(2
4、)|z-(a+bi)|=r(r0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若aC,则a20.()(2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,bR)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()2.(2020浙江,2)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-23.(2020北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2)
5、,则iz=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i4.(2020全国2,文2)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i5.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是.关键能力学案突破考点复数的有关概念【例1】(1)(2020全国1,文2)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.2D.2(2)(2020陕西宝鸡三模,文2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,m),若iz为纯虚数,则实数m的值为()A.-1B.0C.1D.1或-1(3)(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.
6、思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.对点训练1(1)(2020全国3,理2)复数11-3i的虚部是()A.-310B.-110C.110D.310(2)(2020福建福州三模,理1)已知纯虚数z满足(1-i)z=2+ai,则实数a=()A.2B.1C.-1D.-2考点复数的几何意义【例2】(1)(2019全国1,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2
7、=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1(2)(2020全国2,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?解题心得1.复数z=a+bi(a,bR)Z(a,b)OZ=(a,b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.对点训练2(1)设复数z满足|z-i|+|z+i|=4,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.x24-y23=1B.x24+y23=1C.y24-x23=1D.y24+x23=1(2)(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为P(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x考点复数的代数运算【例3】(1)(2020新高考全国1,2)2-i1+2i=()A.1B.-1C.iD.-i(2)(2020江苏南京六校5月联考,2)已知复数z=(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,a为实数,则
