1、20132014学年第二学期五校联合教学调研数学（理科）试卷 考生注意：1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分.2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的规定位置准确填写、填涂学校、姓名、准考证号.3、考试结束只交答题纸.一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组解为，则实数_2已知为虚数单位，复数的虚部是_.3在极坐标系（，）（）中，曲线与的交点的极坐标为 .4已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数 为 .5. 已知是奇函数，若且，则 .6设P为函数的图象上
2、的一个最高点,Q为函数的图象上的一个最低点,则|PQ|最小值是 .7若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 .40cm50cm80cm8过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 .9. 在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm， 母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积 S=_cm2.10设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C 的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则的取值范围是 .11. 在正项等比数列中，3.则满
3、足的最大正整数n的值为_12. 定义:如果函数在区间上存在,满足 ,则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数 在区间上存在均值点,则实数的取值范围是_ _.13. 若函数满足,当时, ，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是 .14. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的， 我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的 关系，记为“” 定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“” 或“” 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： 若,则； 若,则； 若,则对于任意,； 对于任意向量，,若，则.其中真命题的序号为 .二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题
4、有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15. “a=1”是“函数上为减函数”的（ ）A充分不必要条件；B必要不充分条件；C充要条件；D既不充分也不必要条件.16.设是公差为d(d0)的无穷等差数列的前n项和，则下列命题错误的是 ()A若d0，则数列有最大项；B若数列有最大项，则d0；C若数列是递增数列，则对任意nN*，均有0；D若对任意nN*，均有0，则数列是递增数列.17. 过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线 ()A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在
5、.18.设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R）， （R），且,则称，调和分割， , 已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是 （ ）（A）C可能是线段AB的中点； （B）D可能是线段AB的中点；（C）C，D可能同时在线段AB上； （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上.三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）19、(12分)在中，角所对的边分别为，满足（1）求角；（2）求的取值范围解：20、（14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，为的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上求一点（不与两点重合），
6、使得平面，并求出的长解： 21、(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）（1）求关于的函数关系式； (第21题图)（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？解:22、（16分）如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和
7、,连结,过做轴的垂线与交于点. (1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面积比为 ,求直线的方程. （3）倾斜角为a的直线经过抛物线E的焦点F，且与抛物线交于A、B两点,若为 锐角，作线段AB的垂直平分线m交y轴于点P，证明|FP|+|FP|cos2a为定值， 并求此定值.解: 23、（18分）在正数数中，为的前n项和，若点在函数的图象上，其中为正常数，且1.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，当的时候，是否存在正整数m、n（1ma1a2an的最大正整数n的值为_12_【解析】设an的公比为q.由a5及a5(qq2)3得q2，所
8、以a1，所以a61，a1a2a11a1，此时a1a2a111.又a1a2a1227，a1a2a1226a1a2a12，但a1a2a1328，a1a2a132627252828，所以a1a2a13a1a2a13，故最大正整数n的值为12.12.定义:如果函数在区间上存在,满足,则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数在区间上存在均值点,则实数的取值范围是_(0,2)_;13. 若函数满足,当时, ，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是 【解析】 当x0，1时，f（x）=x，x（-1，0）时， f(x)+1 f(x)因为g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的
9、图象有两个交点，函数图象如图，由图得，当0m时，两函数有两个交点14. 在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我 们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为 “”定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“” 按上述定义的关系“”，给出如下四个命题： 若,则； 若,则； 若,则对于任意,； 对于任意向量，,若，则.其中真命题的序号为 ；【解析】（1）显然正确（2）设由,得“”或“”由,得“”或“”,则若“”且“”,则,所以若“” 且“”,则,所以若“” 且“”,则,所以综上所述，若,则 所以正确 （3）设，则由,得“”或“”若，则,所以若，则,所以综上所述
10、，若,则对于任意,所以正确（4）由得 “”或“”由得 “”或“”若“”且“”，则,所以 所以所以不正确 综上所述，正确，选B二、选择题15. “a=1”是“函数上为减函数”的（ A ）A充分不必要条件；B必要不充分条件；C充要条件；D既不充分也不必要条件；16.设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是(C)A若d0，则数列Sn有最大项；B若数列有最大项，则d0；C若数列是递增数列，则对任意nN*，均有0；D若对任意nN*，均有0，则数列是递增数列；解析 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度法一：特值
11、验证排除选项C显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列S n是递增数列，但是0不恒成立法二：由于na1dn2n，根据二次函数的图象与性质知当d0时，数列有最大项，即选项A正确；同理选项B也是正确的；而若数列是递增数列，那么d0，但对任意的nN*，0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的；故应选C.17. 过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线 (D)A有且仅有一条； B有且仅有两条；C有无穷多条； D不存在；【解析】 由题意知A，B点到x1的距离和为3，由抛物线定义可知|AB|3，我们知道 抛物线中过焦点的弦长最小值
12、为2p4，而|AB|3，显然这样的弦不存在18.设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 （R），（R），且,则称，调和分割， ,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是 （ D ）（A）C可能是线段AB的中点； （B）D可能是线段AB的中点；（C）C，D可能同时在线段AB上； （D）C，D不可能同时在线段AB的延长线上；【解析】C、D在不在线段AB上就是看、的取值,比如1时C就在AB延长线上，1就表示D在AB延长线上,题目就是要根据比较、的可能取值现在看A和B选项：如果C或者D在线段AB中点，那么、中有一个是，那么或中有一个是2，但是又有，所以这个情况不可能；看C选项：如果C、
13、D同时在线段AB上，那么经过计算可以算得无法使成立所以这个情况不可能；看D选项：如果C、D同时在线段AB延长线上，那么、都大于1那么也无法使成立所以选D三、解答题19、在中，角所对的边分别为，满足（1）求角；（2）求的取值范围解：（），化简得，4分所以，6分 （）8分因为，所以 10分故的取值范围是 12分20、如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，为的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上求一点（不与两点重合），使得平面，并求出的长解：（1）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角 坐标系5分则，所以，因为平面，所以为平面的一个法向量6分 设平面的法向量为， 由，得 令，则
14、， 所以是平面的一个法向量 8分 所以 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为 9分（2）解：设在线段上存在点（不与两点重合），使得平面 设，则， 设平面的法向量为，由，得令，则， 所以是平面的一个法向量12分因为平面，所以，即， 解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得平面，且14分21、(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）（1）求关于的函数关系式； (第21题图)（2）已知在花坛的边缘
15、(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？X解：(1)设扇环的圆心角为q，则，所以，4分(2) 花坛的面积为7分装饰总费用为，9分所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11分令，则，当且仅当t=18时取等号，此时答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14分22、如图,在正方形中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为.分别将线段和十等分,分点分别记为和,连结,过做轴的垂线与交于点.(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求该抛物线的方程;(2)过点做直线与抛物线交于不同的两点,若与的面
16、积比为 ,求直线的方程. （3）倾斜角为a的直线经过抛物线E的焦点F，且与抛物线交于A、B两点,若为锐角， 作线段AB的垂直平分线m交y轴于点P，证明|FP|+|FP|cos2a为定值，并求此定值。解:()依题意,过且与x轴垂直的直线方程为 ,直线的方程为 设坐标为,由得:,即, 都在同一条抛物线上,且抛物线方程为 (4分)()依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 由得 此时,直线与抛物线恒有两个不同的交点 设:,则 又, 分别带入,解得 直线的方程为,即或 (6分)（3）直线AB：代入，整理得：设方程二根为x1，x2，则.设AB中点M为 AB的垂直平分线方程是:y= 令x=0，则故于是|F
17、P|+FP|cos2a=10,为定值。（6分）23、在正数数列中，为的前n项和，若点在函数的图象上，其中c为正常数，且c1。（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，当的时候，是否存在正整数m、n（1mn），使得成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由；（3）设数列满足，当时候，在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由。解：(1)所以数列为等比数列 2分将代入得， 3分故 4分（2）若成等比数列，则即,可得所以,解得：又且,所以,此时所以当, ，使得成等比数列 10分（3）若,则由,得,化简得,此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立。 12分若,则由,得化简得 14分令, 16分因此，故只有,此时综上，在数列中，仅存在连续的三项,按原来的顺序成等差数列，此时正整数=1
