1、单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)单元质检卷第6页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒答案:C解析:根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.已知函数f(x)=ln x-x,则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-,1)B.(0,1)C.(-,0),(1,+)D.(1,+)答案:D解析:由f(x)=ln x-x,得f(x)=1x-1.令f(x)=1x-10
2、,解得x1.3.曲线y=xx+2在点(-1,-1)处的切线方程为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-2答案:A解析:y=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2,曲线在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为y|x=-1=2(-1+2)2=2.切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m0,若y=ex+mx有极值则必须使y的值有正有负,故m0.5.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A解析:由f(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得
3、x=12或x=-1(舍去).当0x12时,f(x)12时,f(x)0,f(x)递增.则f12=34+ln 20为f(x)的最小值,所以无零点.6.函数y=f(x)的图象如图所示,则关于函数y=f(x)的说法正确的是()A.函数y=f(x)有3个极值点B.函数y=f(x)在区间(-,-4)上单调递增C.函数y=f(x)在区间(-2,+)上单调递增D.当x=1时,函数y=f(x)取得极大值导学号32470578答案:C解析:由f(x)的图象知,f(x)的极值点有两个,A错误;f(x)在(-,-5)上单调递增,B错误;x=1不是极值点,D错误.7.设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f(x),若
4、f(x)+f(x)1,f(0)=2 015,则不等式exf(x)ex+2 014(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(2 014,+)B.(-,0)(2 014,+)C.(-,0)(0,+)D.(0,+)导学号32470579答案:D解析:设g(x)=exf(x)-ex(xR),则g(x)=exf(x)+exf(x)-ex=exf(x)+f(x)-1.f(x)+f(x)1,f(x)+f(x)-10,g(x)0,y=g(x)在定义域上单调递增.exf(x)ex+2 014,g(x)2 014.g(0)=e0f(0)-e0=2 015-1=2 014,g(x)g(0),x0.8.(2015太
5、原一模)已知函数f(x)=ln x+tan 02的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则的取值范围为()A.4,2B.0,3C.6,4D.0,4导学号32470580答案:A解析:f(x)=ln x+tan ,f(x)=1x,令f(x)=f(x),得ln x+tan =1x,即tan =1x-ln x.设g(x)=1x-ln x,显然g(x)在(0,+)上单调递减,而当x0时,g(x)+,要使满足f(x)=f(x)的根x0g(1)=1,又02,4,2.9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A
6、.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)导学号32470581答案:D解析:当x0,即f(x)g(x)0,当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)=0.故当x-3时,f(x)g(x)0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0x3时,f(x)g(x)0.10.(2015浙江温州十校月考)已知f(x)是可导的函数,且f(x)f(x)对于xR恒成立,则()A.f(1)e2 014f(0)B.f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)C.f(
7、1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)D.f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)导学号32470582答案:D解析:令g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)ex=f(x)ex-f(x)(ex)e2x=f(x)-f(x)ex0,所以函数g(x)=f(x)ex在R上是单调减函数,所以g(1)g(0),g(2 014)g(0),即f(1)e1f(0)1,f(2 014)e2 014f(0)1,故f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0).11.(2015福州质量检测)若函数f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3上有极值点,则实数a的取值范
8、围是()A.2,52B.2,52C.2,103D.2,103答案:C解析:若f(x)=x33-a2x2+x+1在区间12,3上有极值点,则f(x)=x2-ax+1在区间12,3内有零点,且零点不是f(x)的图象顶点的横坐标,由x2-ax+1=0,得a=x+1x,因为x12,3,y=x+1x的值域是2,103,当a=2时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是2,103,故选C.12.已知函数f(x)=ln x-14x+34x-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2),则实数b的取值范围是()A.2,178B
9、.1,+)C.178,+D.2,+)导学号32470583答案:C解析:f(x)=-(x-1)(x-3)4x2,令f(x)=0得x1=1,x2=3(0,2).当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-12.由于“对任意x1(0,2),存在x21,2,使f(x1)g(x2)”等价于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值-12”.(*)又g(x)=(x-b)2+4-b2,x1,2,所以当b0,此时与(*)矛盾;当b1,2时,因为g(x)min=4-b20,此时与(*)矛盾;当b(2,+)时,因为g(x)min=g(
10、2)=8-4b,解不等式8-4b-12,可得b178.综上,b的取值范围是178,+.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=x3+3x2+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为.答案:3x-y-2=0解析:y=3x2+6x+6=3(x+1)2+33.当x=-1时,ymin=3;当x=-1时,y=-5.故所求的切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)上是减函数,则实数a的取值范围是.导学号32470584答案:(-,-3解析:依题意,f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立,则a0,=62+43
11、a0,故a-3.15.已知a1-xx+ln x对于x12,2恒成立,则a的最大值为.导学号32470585答案:0解析:设f(x)=1-xx+ln x,则f(x)=-x+x-1x2+1x=x-1x2,当x12,1时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增,f(x)min=f(1)=0,a0,即a的最大值为0.16.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则a+b=.答案:-7解析:f(x)=3x2+2ax+b,由x=1时,函数取得极值10,得f(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10,联立得a=4,b=-11,或a=-3,b=3.当a=4,b=-
12、11时,f(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1两侧的符号相反,符合题意;当a=-3,b=3时,f(x)=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同,所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.故a+b=-7.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:(1)f(x)=18x2+6(a+2)x+2a.由已知有f(x1)=f(x2)=0,从而x1x2=2
13、a18=1,所以a=9.(2)由于=36(a+2)2-4182a=36(a2+4)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-,+)上的单调函数.18.(14分)(2015安徽,文21)已知函数f(x)=ax(x+r)2(a0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若ar=400,求f(x)在(0,+)内的极值.解:(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2,f(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2rx+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4,所以当xr时,f(x)0.当-
14、rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+)内的极大值为f(r)=ar(2r)2=a4r=4004=100.导学号3247058619.(14分)设定义在(0,+)上的函数f(x)=ax+1ax+b(a0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=32x,求a,b的值.解:(1)f(x)的导数f(x)=a-1ax2=a2x2-1ax2,当x1
15、a时,f(x)0,f(x)在1a,+上递增;当0x1a时,f(x)kx对任意的x(0,+)恒成立,求实数k的取值范围.(1)解:f(x)=ex-x2+a,f(x)=ex-2x.由已知f(0)=1+a=0,f(0)=1=b解得a=-1,b=1.函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.(2)证明:令(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,(x)=ex-1.由(x)=0,得x=0.当x(-,0)时,(x)0,(x)单调递增.(x)min=(0)=0,从而f(x)-x2+x.(3)解:f(x)kx对任意的x(0,+)恒成立f(x)xk对任意的x(0,+)恒成立,令g(x)=f(x)x,x0,
16、则g(0)=xf(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2=(x-1)(ex-x-1)x2.由(2)可知当x(0,+)时,ex-x-10恒成立,由g(x)0,得x1;由g(x)0,得0x1.故g(x)的增区间为(1,+),减区间为(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.k1时,判断f(x)在0,2m上零点的个数,并说明理由.解:(1)依题意,可知f(x)=ex-m-1,令f(x)=0,得x=m.故当x(-,m)时,ex-m1,f(x)1,f(x)0,f(x)单调递增.故当x=m时,f(m)为极小值也是最小值.令f(m)=1-m0,得m1,即对任意xR,f(x)0恒成立时,m的取值范围是(-,1.(2)当m1时,f(m)=1-m0,f(0)f(m)1时,g(m)=em-20,g(m)在(1,+)上单调递增.g(m)g(1)=e-20,即f(2m)0.f(m)f(2m)0,f(x)在(m,2m)上有一个零点.故f(x)在0,2m上有两个零点.导学号32470588
