1、高中数学一轮复习讲义专题四 函数讲义 5.2 二次函数与幂函数 知识梳理.二次函数与幂函数 1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；高中数学一轮复习讲义当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减 题型一.二次函数 考点 1.二次函数根的分布、恒成立问题 1函数 f（x）ax2+（a3）x+1 在区间
2、1，+）上是递减的，则实数 a 的取值范围是（）A3，0）B（，3C2，0D3，0【解答】解：函数 f（x）ax2+（a3）x+1 在区间1，+）上是递减的，当 a0 时，f（x）3x+1，30，f（x）在 R 上单调递减，符合题意；当 a0 时，函数 f（x）ax2+（a3）x+1 为二次函数，二次函数在对称轴右侧单调递增，不可能在区间1，+）上递减，故不符合题意；当 a0 时，函数 f（x）ax2+（a3）x+1 为二次函数，对称轴为 x=32，二次函数在对称轴右侧单调递减，且 f（x）ax2+（a3）x+1 在区间1，+）上是递减的，32 1，解得3a0，实数 a 的取值范围是3a0综合
3、，可得实数 a 的取值范围是3，0故选：D2设 f（x）x22x+a若函数 f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数 a 的取值范围为（3，1【解答】解：f（x）的对称轴为 x1函数 f（x）在区间（1，3）内有零点，0(1)0，即4 4 03+0，解得3a1高中数学一轮复习讲义故答案为（3，13方程 mx2（m1）x+10 在区间（0，1）内有两个不同的根，则 m 的取值范围为（）Am1Bm3+22Cm3+22或 0m32D322m1【解答】解：构造函数 f（x）mx2（m1）x+1，图象恒过点（0，1）方程 mx2（m1）x+10 在区间（0，1）内有两个不同的根，00 12 1(1)0
4、001(1)2 403+22故选：B4已知命题 p：xR，x2+（a1）x+10若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为（）A1，3B1，3C（1，3）D0，2【解答】解：依题意 x2+（a1）x+10 对任意实数 x 都成立，所以（a1）240，解得1a3故选：B5已知函数 f（x）ax22x+2，若对一切 x12，2，f（x）0 都成立，则实数 a 的取值范围为（）A4，+）B（4，+）C12，+）D（12，+）【解答】解：由题意得，对一切 x12，2，f（x）0 都成立，即 a 222=2 22=2（1 12）2+12，而2（1 12）2+12 12，则实数 a 的取值范围为：（1
5、2，+）故选：D6已知不等式 kx24kx30 对任意 k1，1时均成立，则 x 的取值范围为(2 7，1)(3，2+7)高中数学一轮复习讲义【解答】解：令 f（k）kx24kx3（x24x）k3，看作关于 k 的一次函数，不等式 kx24kx30 对任意 k1，1时均成立，(1)0(1)0，即2+4 302 4 30，解得2 71或32+7x 的取值范围为(2 7，1)(3，2+7)故答案为：(2 7，1)(3，2+7)考点 2.二次函数的值域与最值 1函数 yx22x+3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值为 2，m 的取值范围是（）A（，2B0，2C1，2D1，+）【解答】解：作出函数
6、 f（x）的图象，如图所示，当 x1 时，y 最小，最小值是 2，当 x2 时，y3，函数 f（x）x22x+3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则实数 m 的取值范围是1，2故选：C2求函数 yx（xa）在 x1，1上的最大值【解答】解：函数 y（x 2）2+24 图象开口向下，对称轴方程为 x=2，高中数学一轮复习讲义（1）当2 1，即 a2 时，由图可知，当 x1 时，ymaxa1；（2）当1 2 1，即2a2 时，由图可知，当 x=2时，ymax=24；（3）当2 1，即 a2 时，由图可知，当 x1 时，ymaxa1；故 ymax=(+1)，224，2 2 1，23已知函数
7、 f（x）=2 (2)+1的值域是0，+），则实数 m 的取值范围是 0，23 3【解答】解：当 m0 时，（x）=2 (2)+1=2 1，值域是0，+），满足条件；当 m0 时，f（x）的值域不会是0，+），不满足条件；当 m0 时，f（x）的被开方数是二次函数，0，即（m2）24m（m1）0，23 3 m 23 3，综上，0m 23 3，实数 m 的取值范围是：0，23 3，故答案为：0，23 3，4已知函数 f（x）（m2）x2+（m8）x（mR）是奇函数，若对于任意的 xR，关于x 的不等式 f（x2+1）f（a）恒成立，则实数 a 的取值范围是（，1）【解答】解：由奇函数的性质可得，
8、f（x）f（x）恒成立，即（m2）x2（m8）x（m2）x2（m8）x，故 m20 即 m2，此时 f（x）6x 单调递减的奇函数，由不等式 f（x2+1）f（a）恒成立，可得 x2+1a 恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+11，所以 a1高中数学一轮复习讲义故答案为：（，1）题型二.幂函数 考点 1.幂函数的图像与性质 1已知幂函数 yx 的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（）A（，+）B（，0）C0，+）D（0，+）【解答】解：根据幂函数 yx 的图象过点(12，4)，得(12)=4，解得 2，所以函数 yx2，x0；所以函数 y 的单调递减区间为（0，+）故选：D2幂函
9、数 y（m2m5）x24+1的图象分布在第一、二象限，则实数 m 的值为 m3【解答】解：幂函数 y（m2m5）x24+1的图象分布在第一、二象限，m2m51，且 m24m+1 为偶数，求得 m3，故答案为：33幂函数()=(1)223（a，mN）为偶函数，且在（0，+）上是减函数，则a+m 3【解答】解：幂函数()=(1)223（a，mN），在（0，+）上是减函数，a11，且 m22m30，a2，1m3，又mN，m0，1，2，又幂函数 f（x）为偶函数，m1，a+m3，故答案为：34已知函数 f（x）=2+2，且 f（2）f（3），则实数 k 的取值范围是（，1）（2，+）【解答】解：因为
10、f（x）=2+2，且 f（2）f（3），高中数学一轮复习讲义所以其在（0，+）上是减函数，所以根据幂函数的性质，有k2+k+20，即 k2k20，所以 k1 或 k2故答案为（，1）（2，+）考点 2.利用幂函数比较大小 1已知 a（53）13，b（23）34，c（53）14，则 a，b，c 的大小关系是（）AbcaBabcCbacDcba【解答】解：对于 y=53x 是增函数，故 c（53）14a（53）13，而 b（23）341=(53)0c（53）14，故 bca，故选：A2设=(34)12，=(43)14，=(23)34，则 a，b，c 的大小顺序是（）AcabBcbaCacbDbca
11、【解答】解：a=(34)12=(916)141，b=(43)141，c=(23)34=(827)141；且 0 827 916 1，函数 y=14在（0，+）上是单调增函数，所以(827)14(916)14，所以 ca；综上知，cab故选：A3已知幂函数 f（x）（m1）2x24+2（mR），在（0，+）上单调递增设 alog54，blog153，c0.50.2，则 f（a），f（b），f（c）的大小关系是（）高中数学一轮复习讲义Af（b）f（a）f（c）Bf（c）f（b）f（a）Cf（c）f（a）f（b）Df（a）f（b）f（c）【解答】解：幂函数 f（x）（m1）2x24+2（mR），在（0，+）上单调递增，(1)2=12 4+2=0，解得 m0，f（x）x2，故选：A
