1、4.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式-2-知识梳理 双基自测 211.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin()=.(2)cos()=.(3)tan()=tantan1tantan.sin cos cos sin cos cos sin sin -3-知识梳理 双基自测 212.二倍角公式 sin 2=;cos 2=;tan 2=2tan1-tan2.2sin cos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 2-4-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()(2)两角和与差的正切公式中的角,是
2、任意的.()(3)cos 80cos 20-sin 80sin 20=cos(80-20)=cos 60=12.()(4)cos=2cos22-1=1-2sin22.()(5)1-tan1+tan=tan 4+.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-5-知识梳理 双基自测 234152.sin 20sin 80-cos 160cos 80=()A.-32B.32C.-12D.12 答案 解析 解析 关闭sin 20sin 80-cos 160cos 80=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(10+20)=sin 30=12.答案 解析 关闭D-6-知识梳理
3、 双基自测 234153.若 tan=-13,则 cos 2=()A.-45B.-15C.15D.45 答案 答案 关闭D-7-知识梳理 双基自测 23415解析(方法 1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-13 21+-13 2=45.故选 D.(方法 2)tan=-13,sincos=-13,即 3sin=-cos.两边平方得 9sin2=cos2,即 91-cos22=1+cos22,解得 cos 2=45.-8-知识梳理 双基自测 234154.(2016 山西太原五中二模)3-sin702-cos210=()A.12B
4、.22C.2D.32 答案 解析 解析 关闭原式=3-cos202-cos210=3-(2cos210-1)2-cos210=2(2-cos210)2-cos210=2,故选 C.答案 解析 关闭C-9-知识梳理 双基自测 234155.cos28-sin28=.答案 解析 解析 关闭由二倍角公式得,cos28-sin28=cos4=22.答案 解析 关闭22-10-考点1 考点2 考点3 考点 1 三角函数公式的基本应用 例 1(1)(2016 河北唐山一模)cos sin +6+sin sin-3=()A.12B.-12C.32D.-32(2)(2016 东北三省四市二模)已知 sin 6
5、-=cos 6+,则 tan=()A.-1B.0C.12D.1思考在应用三角函数公式时应注意什么?答案 答案 关闭(1)A(2)A-11-考点1 考点2 考点3 解析:(1)cos sin +6+sin sin-3=cos sin +6-sin cos -3+2=sin +6 cos-cos +6 sin=sin +6-=sin6=12,故选 A.(2)sin 6-=cos 6+,12cos-32 sin=32 cos-12sin.1-32 cos=3-12 sin.tan=sincos=-1,故选 A.-12-考点1 考点2 考点3 解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要
6、注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.-13-考点1 考点2 考点3 对点训练 1(1)已知 sin=35,2,则cos22sin+4=.(2)设 sin 2=-sin,2,则 tan 2 的值是 .答案 解析 解析 关闭(1)sin=35,2,cos=-45.cos22sin+4=cos2-sin22 22 sin+22 cos=cos-sin=-75.(2)sin 2=2sin cos=-sin,cos=-12.又 2,sin=32,tan=-3.tan 2=2tan1-tan2=-231-(-3)2=3.答案 解析 关闭(1)-75(2)3-14-考点1 考点2 考点3 考点 2
7、 三角函数公式的逆用及变用 例 2(1)sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)cos(110-x)的值为()A.2B.22C.12D.32(2)已知 sin+cos=13,则 sin2 4-=()A.118B.1718C.89D.29(3)在ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为()A.-22B.22C.12D.-12思考三角函数公式除了直接应用外,还能怎样应用?答案 答案 关闭(1)B(2)B(3)B-15-考点1 考点2 考点3 解析:(1)原式=sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)cos90-(x-2
8、0)=sin(65-x)cos(x-20)+cos(65-x)sin(x-20)=sin(65-x)+(x-20)=sin 45=22.故选 B.(2)sin+cos=13,(sin+cos)2=1+2sin cos=19,sin 2=-89,sin2 4-=1-cos 2-2 2=1-sin22=1718.-16-考点1 考点2 考点3(3)由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得tan+tan1-tantan=-1,即tan(A+B)=-1,A+B=34,则 C=4,即 cos C=22.-17-考点1 考点2 考点3 解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公
9、式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形,如tan+tan=tan(+)(1-tan tan)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.-18-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)(2016 山东淄博一模)使函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)是奇函数,且在 0,4 上是减函数的 的一个值是()A.3B.23C.43D.53(2)化简:2sin 50+sin 10(1+3tan 10)2sin280=.(3)在ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列,则 tan2+tan2+3tan2tan2的值为 .答案
10、答案 关闭(1)B(2)6(3)3-19-考点1 考点2 考点3 解析:(1)f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)=2 12 sin(2+)+32 cos(2+)=2sin 2+3,+3=k(kZ),即=k-3(kZ).当 k 为奇数时,f(x)=-2sin 2x,满足在 0,4 上是减函数.当 k=1 时,=23;当 k 为偶数时,f(x)=2sin 2x,不满足在 0,4 上是减函数,故选B.-20-考点1 考点2 考点3(2)原式=2sin 50+sin 10cos10+3sin10cos10 2sin80=2sin 50+2sin 1012cos10+32 sin10cos1
11、0 2cos 10=22sin50cos 10+sin 10cos(60-10)=22sin(50+10)=22 32=6.(3)因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=,所以 A+C=23,+2=3,tan+2=3,所以 tan2+tan2+3tan2tan2=tan 2+2 1-tan 2 tan 2+3tan2tan2=3 1-tan 2 tan 2+3tan2tan2=3.-21-考点1 考点2 考点3 考点 3 三角函数公式运用中角的变换 例 3(1)若 02,-20,cos 4+=13,cos 4-2=33,则cos +2 等于()A.33B.-33C.539D.-6
12、9(2)已知 cos-2=-19,sin 2-=23,且2,02,则cos(+)=.思考已知一个角或两个角的三角函数值,求另一角的三角函数值的一般思路是什么?答案 答案 关闭(1)C(2)-239729-22-考点1 考点2 考点3 解析:(1)cos +2=cos 4+-4-2 =cos 4+cos 4-2+sin 4+sin 4-2.02,则4 4+34,sin 4+=223.又-20,则4 4 2 2,sin 4-2=63.故 cos +2=13 33+223 63=539.故选 C.-23-考点1 考点2 考点3(2)由已知,得2-2,02-2,sin-2=459,cos 2-=53,
13、cos+2=cos -2-2-=cos-2 cos 2-+sin-2 sin 2-=-19 53+459 23=7527.则 cos(+)=2cos2+2-1=-239729.-24-考点1 考点2 考点3 解题心得1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,=+2-2,=+2+-2,-2=+2 2+等.-25-考点1 考点2
14、考点3 对点训练 3(1)设,都是锐角,且 cos=55,sin(+)=35,则 cos 等于()A.2525B.255 C.2525 或 255D.55 或525(2)(2016 山东泰安一模)若 cos(75+)=13,则 cos(30-2)的值为 .答案 答案 关闭(1)A(2)79-26-考点1 考点2 考点3 解析:(1)依题意得 sin=1-cos2=255,cos(+)=1-sin2(+)=45.又,均为锐角,所以 0+cos(+).因为45 55-45,所以 cos(+)=-45.于是 cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=-45 55+35 255=2525.(2)cos(30-2)=cos(180-150-2)=-cos(150+2)=-2cos2(75+)+1=-219+1=79.
