1、专题03 概率一、单选题1（2021湖南长沙一中高二期末）某高中的小明同学每天坚持骑自行车上学，他在骑自行车上学途中必须经过2个路口，经过一段时间在各路口是否遇到红灯统计分析发现如下规律：经过2个路口时在第一个路口遇到红灯的概率是，连续二次遇到红灯的概率是，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由条件概率的公式代入计算.【详解】设“小明同学在第1个路口遇到红灯”为事件，“小明同学在第2个路口遇到红灯”为事件，则由题意可得，则小明同学在骑自行车上学途中第1个路口遇到红灯的条件下，第2个路口也遇到红灯的概率为故选：
2、C2（2021北京市十一学校高二期末）若，则，已知，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由题意，得，再利用原则代入计算即可.【详解】，由，.故选：C3（2021浙江高二期末）若随机变量，且，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可【详解】解：因为随机变量，且，所以，解得，故选：A4（2021黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件
3、表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】利用古典概型分别求出，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，.故选：D.5（2021辽宁东北育才学校高二期末）设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（）A0.08B0.1C0.15D0.2【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公
4、式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；则由全概率公式，所求概率为P=P+P+P=+=0.08.故选：A6（2021山东青岛高二期末）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（）AP(X2)BP(X2)CP(X4)DP(X4)【答案】C【解析】根据超几何分布列式求解即可【详解】X服从超几何分布，P(Xk)，故k4，故选：C.二、多选题7（2021江苏海安高级中学高二期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于
5、杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（）A该地水稻的平均株高为100B该地水稻株高的方差为10C随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大D随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大【答案】AC【解析】【分析】由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C
6、和D.【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；故选：AC8（2021江苏金陵中学高二期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B
7、为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（）ABCD【答案】ABC【解析】【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.【详解】,故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选: ABC三、填空题9（2021陕西榆林市第十中学高二期末（理）设随机变量，若随机变量X的数学期望，则_.【答案】【解析】【分析】根据随机变量和求服从二项分布的变量的期望公式，代入公式后得到.【详解】解：由题意得：随机变量随机变量X的数学期望，解得故答案为：10（2021北京市十一学校高二期末）设随机变量的分布列为，则_.【答案】#【解析】【分析】由分布列的性质列式求解，再根据的含
8、义代入概率公式求解.【详解】由题意，所以，得，所以.故答案为：11（2021湖南衡阳市八中高二期末）已知随机变量X的分布列如下：013若随机变量Y满足，则Y的方差_.【答案】9【解析】先根据分布列的性质，即概率和为1，求出的值，再分别计算出的数学期望与方差，然后根据，利用即可求出【详解】由分布列的性质可知，所以，所以数学期望，方差，因为，所以，故答案为：9四、解答题12（2021天津市红桥区教师发展中心高二期末）一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，白色卡片张，从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）(1)求取出的张卡片中，至少有张红色卡片的概率；(2)在取出的张卡片中，白色卡
9、片数设为，求随机变量的分布列和数学期望【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【解析】【分析】（1）应用古典概型及对立事件的概率求法，求取出的张卡片中，至少有张红色卡片的概率；（2）由题设知的所有可能取值为，再分别求出对应的概率值，进而写出分布列，最后根据分布列求期望即可.(1)设“取出的张卡片中，至少有张红色卡片”为事件，则 .(2)随机变量的所有可能取值为，.，.所以的分布列为012P随机变量的数学期望：.13（2021河南南阳高三期末（理）学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在4595之间，分为，五组，得到
10、如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.求；学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.参考数据：若，则，.【答案】(1)，；(2)；.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的公式进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行求解即可；根据对立事件的概率公式进行求解即可.(1)由频率分布直方图可
11、知组距，第三组频数为40，总共有100人，则第三组频率=40100=0.4，根据频率之和为1，可知第4组的频率为，所以X=500.1+600.25+700.4+800.15+900.1=69，(2)，P(47.2x79.9)=P(2x+)=P(x+)+P(290.8)=P(x+2)=1P(2x+2)2=10.95442=0.0228，所以一、单选题1（2021安徽黄山高二期末（理）随机变量的分布列如下表，其中，且，则（）246ABCD【答案】C【解析】【分析】由分布列可得，结合条件先解出，从而得出答案.【详解】由分布列可得，又，则，由，即，即所以，所以 所以故选：C2（2021浙江丽水外国语实
12、验学校高三期末）两位教师和两位学生排成一排拍合照，记为两位学生中间的教师人数，则（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，随机变量的取值为，结合排列组合，求得随机变量的取值对应的概率，利用公式，即可求解.【详解】根据题意，随机变量的取值为，可得，所以期望为.故选：C.【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.3（2021北京首都师范大学附属中学高二期末
13、）袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】记骰子掷出的点数为i，事件B: 取出的球全是白球，分别求出利用条件概率公式即可求解.【详解】记骰子掷出的点数为i，事件B: 取出的球全是白球，则,，所以所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：.故选：C.4（2021黑龙江嫩江市第一中学校高二期末（理）现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，擦出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量
14、的数学期望为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件，则的所有可能取值为0，2，4.由于与互斥与互斥，故，所以的分布列为224随机变量的数学期望.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.5（2021吉林长春市实验中学高二期末（理）将三颗骰子各掷一次，记事件A“三个点数都不同”，B“至少出现一个点”，则条件概率，分别是A，B，C，D，【
15、答案】A【解析】【分析】根据条件概率的含义，明确条件概率P（A|B），P（B|A）的意义，即可得出结论【详解】解：根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“三个点数都不相同”的概率， “至少出现一个6点”的情况数目为，“三个点数都不相同”则只有一个6点，共种，；其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，故选：【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，明确条件概率的含义是关键二、多选题6（2021江苏南通高三期末）设随机变量表示从1到这个整数中随机抽取的一个整数，表示从1到这个整数中随机
16、抽取的一个整数，则（）A当时，B当时，C当（且）时，D当时，的数学期望为【答案】BCD【解析】根据题意分别求出当取不同值时的概率即可判断.【详解】对A，当时，则，故A错误；对B，当时，则由可得或，故B正确；对C，当（且）时，则，故C正确；对D，当时，的可能取值为1，2，则，故的数学期望为,故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查概率的相关计算，解题的关键是正确应用概率的乘法公式，正确求出对应的概率.7（2021湖南衡阳市八中高二期末）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再
17、从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）ABC事件与事件不相互独立D，是两两互斥的事件【答案】BCD【解析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以、和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，对A，故A错误；对B，故B正确；对C，当发生时，当不发生时，事件与事件不相互独立，故C正确；对D，不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正
18、确；故选：BCD【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.三、填空题8（2021北京大兴高二期末）已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为_【答案】35#0.6【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，则，故答案为：四、解答题9（2021河北邯郸高三期末）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示
19、，已知，.(1)若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；(2)从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望为.【解析】【分析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.(1)解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，所以从苹果园中随机采
20、摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.(2)解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、，；，所以，随机变量的分布列为：所以.10（2021福建莆田二中高三期末）2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，
21、近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到)以及的均值参考数据：，.若，则.【答案】(1)；.(2)；.【解析】【分析】（1）代入公式计算均值和方差即可；（2）由题意可得，再代入所给的转化公式求解概率；计算，得到变量服从二项分布，利用二项分布的概率计算公式以及期望计算公式求解.(1)，(2)由题意知，.由知，可得， .【点睛】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的
22、概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为.11（2021福建泉州五中高二期末）甲乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.（1）求甲需要射击三次的概率.（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.（3）求乙获胜的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依题意甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，根据相互独立事件的概率公式计算
23、可得；（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，即甲分，乙分，甲分，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；（3）要使乙获胜，即到乙射击之和积分之和恰好满足大于或等于分，分四种情况讨论，分别计算所对应的概率，最后相加即可；【详解】解：（1）甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，所以甲需要射击三次的概率为.（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，他们得分情况为：甲，乙，甲，所以这个最大值发生的概率为.（3）根据他们轮流射击的得分，分四种情况：甲，乙，概率为；甲，乙，甲，乙，概率为；前三次射击中有一次分，两次分，概率为；前五次射击均得分，概率为.所以乙获胜的概率为.12（2021湖南师大附中高二期
24、末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了城市生活垃圾分类制度实施方案，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区垃圾量频数56912864（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值；（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数；（3）
25、根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则；【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，.【解析】（1）样本数据各组的中点值分别乘以各组的频数求和后再除以样本容量可得答案；（2）据题意计算出 ，由.进而可以求出这320个社区中超标社区的个数； （3）算出的可能取值及对应的概率列出分布列计算出变量的期望即可.【详解】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则.估计该市类社区这一
26、天垃圾量的平均值约为22.76吨.（2）据题意，即，则.因为，估计该市类社区中“超标”社区约51个. （3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在内的“超标”社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4.，.则的分布列为：1234所以.【点睛】本题考查了正态分布、随机变量X的分布列及数学期望，关键点是求出所有可能取值对应的概率，意在考查学生对数据的分析处理能力，计算能力.13（2021安徽池州高三期末（理）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率
27、必须大于90%为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量（1）求的概率；（2）求的数学期望；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于或等于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量，则，【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理【解析】【分析】（1）求出，然后求解时的概率（2）判断，求解期望即可（3）求解一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件然后说明结论【详解】解：（1）抽取口罩中过滤率在内的概率，所以，所以，故（2）由题意可知，所以（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修可见这种监控生产过程的方法合理
