1、基本不等式及不等式的应用知识精讲1.基本不等式如果a,b是整数，那么（当且仅当a=b时取等号）.2.几个重要的不等式（1）.（2）（a,b同号）.（3）.（4）.【知识拓展】1.“和定积最大，积定和最小”，即n（n=2，3.）个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。2.基本不等式是几个正数和与积转化的依据，不但可直接解决和与积的不等问题，而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可解决其他形式的不等式问题。如：和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积之和等。3.利用基本不等式求最值的变形技巧凑、拆、除、代、解.（1）凑：凑项，例：；凑系数，例：；（2）拆：例：；
2、（3）除：例：；（4）代：例：已知，求的最小值.解析：.（5）解：例：已知a,b是正数，且，求的最小值.解析：，即，解得.突破方法方法1、利用基本不等式求最值问题（1）利用基本不等式可以求一些函数或代数式的最大值或最小值，其基本法则如下：已知x，yR+，若x+y=P(定值），当且仅当x=y时，积xy取得最大值；已知x，yR+，若xy=S（定值），当且仅当x=y时，和x+y取得最小值.（2）利用基本不等式求最值应满足的三个条件：各项或各因式均为正；和或积为定值；各项或各因式能取到使等号成立的值.简记：一正、二定、三相等。如果解题过程中不满足上述条件，可以进行拆分或配凑因式，以满足以上三个条件.（
3、3）利用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值.条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为求函数的最值.例1、（1）若整数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 .（2）若，且，则的最小值为 .（3）已知正数a,b满足，则ab的最小值为 .方法2、基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤：（1）仔细阅读题目，透彻理解题意；（2）分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他
4、的变量，把要求最值的变量设为函数；（3）应用基本不等式求出函数的最值；（4）还原实际问题，作出解答。例1、某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表明,该企业在经销这个产品期间第X个月的利润(单位:万元).为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润再投人到次月的经营中.记第x个月的利润率为g(x)=,例如(1)求 g(10)；(2)求第x个月的当月利润率;(3)求该企业经销此产品期间,哪一个月的当月利润率最大,并求出该月的当月利润率.方法3、不等式恒成立问题恒成立问题是不等式与参数问题的典型代表，解此类问题主要有以下三种方法：1.函数法设（1）在上恒成立且；（2）在上恒成立且；
5、（3）当时，在上恒成立或或在上恒成立（4）当时，在上恒成立在上恒成立或或2.最值法对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.恒成立；恒成立.3.数形结合法对一切恒成立的图象在的图象的上方.例3、若不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为 .课堂达标检测：1.若正实数x,y满足x+y=1，则的最小值是 .2.已知正实数a,b满足a+3b=7，则的最小值为 .3.若，且，则使得取得最小值的实数a= .4.已知，则的最小值为 .5.若正实数x,y满足，则的最大值为 .6.已知常数，函数的最小值为3，则a的值为 .7.设x,y,z均为大于1的实数，且z
6、为x和y的等比中项，则的最小值为 .8.有一块三角形边角地，如图中ABC，其中AB=8（百米），AC=6（百米），A=60某市为迎接2500年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中AEF）供市民休闲，其中点E在边AB上，点F在边AC上规划部门要求AEF的面积占ABC面积的一半，记AEF的周长为l（百米）（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF的三边安装水管，现设AE=x（百米）求水管总长度l的最小值；（2）如果沿AEF的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l的最大值，并确定此时E、F的位置 课后作业1.若实数x,y满足xy+3x=3,则的最小值为 .2.已知整数满足，那么y的最大值为 .3.若a,b均为非负实数，且a+b=1，则的最小值为 .4.已知a,b均为正数，且，则的最小值为 .5.设a,b,c是正实数，满足，则的最小值为 .6.已知，t为正整数，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则t的最小值为 .7.已知x,y为正实数，则的最大值为 .8.已知正实数x,y满足，则xy的取值范围为 .9.已知，且，则的最小值为 .10.已知正实数a,b满足，则ab的最大值为 .
