1、1 要点解读1.直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角，当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0.解读(1)直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是与 x 轴相交的直线；第二种是与 x 轴平行或重合的直线.这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.(2)从运动变化的观点来看，当直线与 x 轴相交时，直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角.(3)不同的直线可以有相同的倾斜角.(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对 x 轴正方向的倾斜程度.2
2、.直线的斜率我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan.经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.解读(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒.(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率.当倾斜角是 90时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于 x 轴.(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于 x 轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便.(4)当 x1x2，y1y2 时直线没有斜率.3.两条直线平行
3、的判定对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 l1l2k1k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个：一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在.(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1 与 l2 的倾斜角都是 90，此时也有 l1l2.4.两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即 l1l2k1k21.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率.(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2
4、 直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线与直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础.一、根据倾斜角求斜率例 1 如图，菱形 ABCD 的ADC120，求两条对角线 AC 与 BD 所在直线的斜率.分析 由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定 AC 与 BD 的倾斜角，再利用公式 ktan.解 在菱形 ABCD 中，ADC120，BAD60，ABC120.又菱形的对角线互相平分，BAC30，DBA60.DBx180DBA120.kACtan 30 33，kBDtan 120 3.评注 本题解答的关键是根据几
5、何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例 2 直线 l 沿 y 轴正方向平移 3 个单位，再沿 x 轴的负方向平移 4 个单位，恰好与原直线 l重合，求直线 l 的斜率 k.分析 由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以采取在直线上取一点 P，经过相应的平移后得到一个新点 Q，它也在直线上，则直线 l 的斜率即为 PQ 的斜率.解 设 P(x，y)是直线 l 上任意一点，按平移后，P 点的坐标移动到 Q(x4，y3).Q 点也在直线 l 上，ky3yx4x34.
6、评注 本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿 x 轴正方向平移 a 个单位，再沿 y 轴正方向移动b 个单位，坐标由(x，y)变为(xa，yb).直线过两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 x1x2，y1y2，则倾斜角等于 90，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用待定系数法例 3 如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到原来的位置，求直线 l 的斜率.分析 本题可以利用例 2 的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直
7、线 l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解 设直线 l 的方程为 ykxb.把直线左移 3 个单位，上移 1 个单位后直线方程为y1k(x3)b，即 ykx3kb1.由条件，知 ykx3kb1 与 ykxb 为同一条直线的方程.比较系数，得 b3kb1，解得 k13.评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.3 直线方程形式的相互转化直线方程的五种形式之间密切相关，可以进行相互转化.一、一般式方程转化为斜截式方程例 1 已知直线方程为 3x4y60，求此直线的斜率与此直线在 y 轴上的截距.分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的斜
8、截式方程，根据直线的斜截式方程可以直接判断出对应直线的斜率与在 y 轴上的截距.解 由 3x4y60，可得 4y3x6，即 y34x32.根据直线的斜截式方程，可以得出此直线的斜率为34，此直线在 y 轴上的截距为32.评注 在直线的斜截式方程 ykxb 中，非常直观地表示了该直线对应的斜率为 k，该直线在 y 轴上的截距为 b.二、一般式方程转化为截距式方程例 2 求直线 axby10(a0，b0)与两坐标轴所围成的三角形的面积.分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的截距式方程，根据直线的截距式方程可以直接判断出对应直线在相应坐标轴上的截距，再求解对应的三角形面积.解 由直线 axby
9、10(a0，b0)，可得x1ay1b1.根据直线的截距式方程，可以得出此直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为1a，1b.所以对应的三角形面积为 S12|1a|1b|12|ab|.评注 在直线的截距式方程xayb1(a0，b0)中，方程的左侧为两个分式的和，右侧为常数 1，其中的 a，b 分别为直线在 x 轴，y 轴上的截距.要正确理解截距的定义，但要注意在 x轴，y 轴上的截距分别表示的是直线与 x 轴，y 轴交点的横、纵坐标.三、斜截式方程转化为点斜式方程例 3 直线 ymx3m2(mR)必过的定点为_.分析 只需把已知直线的斜截式方程转化为直线的点斜式方程，根据直线的点斜式方程可以直接判断
10、出对应直线所过的定点.解析 由 ymx3m2，可得 ym(x3)2，即 y2m(x3)，根据直线的点斜式方程，可以得出此直线必过的定点为(3,2).答案(3,2)评注 在直线的点斜式方程 yy0k(xx0)中，表示恒过定点(x0，y0)的一系列直线.在解答此类问题时，也可以通过参数的两个不同取值，通过求解两特殊直线的交点来达到确定定点的目的.四、一般式方程转化为点斜式方程例 4 已知直线 l 的方程为(k1)x(k1)y2k0，求证：无论 k 取何实数时，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标.分析 只需把已知直线的一般式方程转化为直线的点斜式方程，即可判断出对应的定点.证明 由直线 l 的
11、方程(k1)x(k1)y2k0，可得(k1)x(k1)y2k，则(k1)xk(k1)yk，亦即(k1)x(k1)(k1)y(k1).当 k1 时，y1k1k1(x1)，根据直线的点斜式方程可得直线 l 必过定点(1，1)；当 k1 时，直线 l 的方程为 x1，亦必过定点(1，1).综上所述，无论 k 取何实数时，直线 l 必过定点(1，1).评注 在解答有关直线过定点的问题中，经常利用直线的点斜式方程来解决.直线方程的五种表达式都有着各自的长处和不足，在求解有关的直线方程时，一定要注意各自方程形式的局限之处.4 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例 1 已知直线方程为 3xmy60
12、，求此直线的斜率与此直线在 y 轴上的截距.错解 由 3xmy60，得 my3x6，即直线的斜截式方程为 y3mx6m，得出此直线的斜率为3m，在 y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当 m0 时，直线的斜率并不存在.正解 当 m0 时，直线可化为 x2，此时直线的斜率不存在，在 y 轴上的截距也不存在；当 m0 时，可得 my3x6，即直线的斜截式方程为 y3mx6m，得出此直线的斜率为3m，在 y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程 ykxb 中，非常直观地表示了该直线的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b.研究直线的斜率与在 y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式
13、方程来处理.但要注意当 y 的系数含有参数时要分系数为 0 和系数不为 0 两种情况进行讨论.二、两点式中分式“缺陷”例 2 已知直线 l 过点 A(1,2)，B(a,3)，求直线 l 的方程.错解 由两点式，得直线 l 的方程为y232x1a1.剖析 忽视了 a1，即直线与 x 轴垂直的情况，若 a1，则y232x1a1不成立.正解 当 a1 时，直线 l 的方程为 x1；当 a1 时，直线 l 的方程为y232x1a1.综上所述，知直线 l 的方程为 x(a1)(y2)10.评注 一般地，过 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成yy1y2y1 xx1x2x1，而应写成
14、(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例 3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为 0 的直线方程.错解 设直线的方程为xa ya1.因为直线过点(2,4)，所以2a 4a1，解得 a2.故所求的直线方程为 x2y21，即 xy20.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为 0 和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为 0 的情形，导致漏解.正解 当直线的截距均不为 0 时，同错解；当直线的截距均为 0 时，直线过原点，此时直线的斜率为 k2，直线的方程为 y2x，即 2xy0.故所求的直线方程为 2xy0 或 xy20.评注 事实上，当题中
15、出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m(m0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为 0”的情况.四、一般式中系数“缺陷”例 4 如果直线(m1)x(m24m3)y(m1)0 的斜率不存在，求 m 的值.错解 因为直线的斜率不存在，所以 m24m30.解得 m3 或 m1.所以当 m3 或 m1 时，直线的斜率不存在.剖析 由于方程 AxByC0 表示直线，本身隐含着(A，B 不同时为 0)这一条件.当 m1时，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0 即为 0 x0y00，它不表示直线，应舍去.正解 因为直线
16、的斜率不存在，所以 m24m30，且 m10，解得 m3.所以当 m3 时，直线的斜率不存在.评注 方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)才叫作直线的一般式方程，才表示一条直线.5 突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型.下面举例说明.题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值.例 1 已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.试求 m 为何值时，l1 与 l2：(1)平行
17、？(2)垂直？分析(1)由“两直线 axbyc0 与 mxnyd0 平行abmn且cbdn”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出 m 的值；(2)由“两直线 axbyc0 与 mxnyd0 垂直(ab)(mn)1”即可求解.解(1)若 l1l2，则1mm23且6m2m3.解得 m1.所以当 m1 时，l1l2.(2)若 l1l2，则(1m)(m23)1.解得 m12.所以当 m12时，l1l2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点.利用此法只需把直线方程化为一般式即可.题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有
18、关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交.例 2 若直线 5x4y2m10 与直线 2x3ym0 的交点在第四象限，求实数 m 的取值范围.分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标.由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于 0，纵坐标小于 0，进而可求出 m 的取值范围.解 根据题意，由5x4y2m10，2x3ym0，可得这两条直线的交点坐标为(2m37，m27).因为交点在第四象限，所以2m370，m270.解得32m0
19、 时，表示圆心为D2，E2，半径 r12 D2E24F的圆，叫作圆的一般方程.二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程.掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的.(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r 或 D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于 a、b、r(或 D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值.标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：一、二者确定圆的条件不同例 1 圆心 P 在直线 yx 上，且与直线 x2y10 相切的圆，截
20、 y 轴所得的弦长|AB|2，求此圆的方程.解 圆心 P 在直线 yx 上，可设 P 的坐标为(k，k)，设圆的方程为(xk)2(yk)2r2(r0).作 PQAB 于 Q，连接 AP，在 RtAPQ 中，AQ1，APr，PQk，r 1k2.又 r|k2k1|1222，|k2k1|1222 k21，整理得 2k23k20，解得 k2 或 k12.当 k2 时，圆的半径为 r k21 5，故圆的方程为(x2)2(y2)25.当 k12时，圆的半径为 r k21 52，故圆的方程为x122y12254.因此所求圆的方程为(x2)2(y2)25 或x122y12254.例 2 已知ABC 的各顶点坐
21、标为 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的方程.分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程.解 设过 A、B、C 三点的圆的方程是 x2y2DxEyF0，将 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入可得D5EF260，2D2EF80，5D5EF500，解得 D4，E2，F20，其外接圆的方程为 x2y24x2y200.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数 D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能
22、少设变量，从而简化计算.另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单.二、二者的应用方面不同例 3 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y 33 x(x0)相切，求这个圆的方程.分析 利用“半径为 1 的圆与 y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口.解 由题意知圆心的横坐标及半径为 1，设圆心纵坐标为 b，则圆的方程为(x1)2(yb)21，圆与射线 y 33 x(x0)相切，33 b33211，解得 b 3，圆的方程为(x1)2(y 3)21.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面
23、几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用.9 探究圆的切线探究 1 已知点 M(x0，y0)是圆 x2y2r2 上一点，l 是过点 M 的圆的切线，求直线 l 的方程.解 设点 P(x，y)是切线 l 上的任意一点，则 OMMP.kOMkMP1，即y0 x0yy0 xx01.整理，得 x0 xy0yx02y02.x02y02r2，切线 l 的方程为 x0 xy0yr2.当点 M 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用.结论 1 过圆 x2y2r2 上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0 xy0yr2.探究 2 求过圆 C：(xa)
24、2(yb)2r2 上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方程.解 设点 P(x，y)是切线 l 上的任意一点，则 CMMP.kCMkMP1，即y0bx0ayy0 xx01.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切线 l 的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.当点 M 在直线 xa 和 yb 上时，可以验证上述方程同样适用.结论 2 过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 M(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.探究 3 求过圆 C：x2y2DxEyF0 上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方
25、程.解 把圆 C：x2y2DxEyF0 化为标准方程，得xD22yE2214(D2E24F).由结论 2 可知切线 l 的方程为x0D2(xD2)y0E2(yE2)14(D2E24F).整理，得 x0 xy0yDxx02Eyy02F0.切线 l 的方程为 x0 xy0yDxx02Eyy02F0.结论 3 过圆 x2y2DxEyF0 上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方程为 x0 xy0yDxx02Eyy02F0.10 圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x22y1y22.例 1 求过原点且倾斜角为 60的
26、直线被圆 x2y24y0 所截得的弦长.解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为 y 3x.解方程组y 3x，x2y24y0，得x10，y10或x2 3，y23.|AB|x1x22y1y220 320322 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解.这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法.二、利用勾股定理若弦心距为 d，圆的半径为 r，则弦长|AB|2 r2d2.例 2 求直线 x2y0 被圆 x2y26x2y150 所截得的弦长|AB|.解 把圆 x2y26x2y150 化为标准
27、方程为(x3)2(y1)225，所以其圆心为(3,1)，半径 r5.因为圆心(3,1)到直线 x2y0 的距离d|312|1222 5，所以弦长|AB|2 r2d24 5.三、利用弦长公式若直线 l 的斜率为 k，与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2.例 3 求直线 2xy20 被圆(x3)2y29 所截得的弦长|AB|.解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2).由2xy20，x32y29消去 y，整理得5x214x40.则 x1x2145，x1x245.|AB|1k2x1x2
28、24x1x21221452445 2 1455.评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去 y(或x)转化为关于 x(或 y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.11 圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数.一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例 1 已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)220 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是_.分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如
29、果先求出这两个圆的交点，然后再求出 AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求.解析 两圆方程作差，得 x3y0.答案 x3y0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可.二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例 2 圆 x2y24x6y0 和圆 x2y26x0 交于 A，B 两点，则 AB 的垂直平分线的方程是_.分析 关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将 AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题.解析 由平面几何知识，知 AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，3)与(3,
30、0)两点的直线的方程.可求得直线的方程为 3xy90.答案 3xy90评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系.三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例 3 已知圆 A：(x1)2(y1)24，圆 B：(x2)2(y2)29，则圆 A 和圆 B 的公切线有_条.分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数.解析 因为圆心距|AB|212212 2，R3，r2，且 Rr325，Rr321，所以有 Rr|AB|Rr，即两圆相交.所以两圆的公切线有两条.答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了
31、考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距.12 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题.例 1 圆 x2y24x4y100 上的点到直线 xy140 的最大距离与最小距离的差为_.分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差.解析 由 x2y24x4y100 配方得(x2)2(y2)218，即圆心为 C(2,2)，半径 r3 2，则圆心到直线的距离 d|2214|1212 5 2，所以圆上的点到直线的最大距离为 dr8 2，最小距离
32、为 dr2 2，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为8 22 26 2.答案 6 2评注 一般地，设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r(r0).因为圆过点 A(5,2)，B(3，2)，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上.易得线段 AB 的垂直平分线方程为 y12(x4).又因为圆心在直线 2xy30 上，所以由y12x4，2xy30，解得x2，y1，即圆心为(2,1).又圆的半径 r 522212 10.所以圆的方程为(x2)2(y1)210.二、数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解.比如，圆心在圆
33、的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等.例 2 已知直线 l：ykx1，圆 C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.方法一(1)证明 由ykx1，x12y1212，消去 y 得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点.(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|1
34、k2|x1x2|284k11k21k22114k31k2，令 t4k31k2，则 tk24k(t3)0，当 t0 时，k34，当 t0 时，因为 kR，所以 164t(t3)0，解得1t4，且 t0，故 t4k31k2的最大值为 4，此时|AB|最小为 2 7.方法二(1)证明 圆心 C(1，1)到直线 l 的距离 d|k2|1k2，圆 C 的半径 R2 3，R2d212k24k41k211k24k81k2，而在 S11k24k8 中，(4)241180 对 kR 恒成立，所以 R2d20，即 dR，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点.(2)解 由平面几何知识，知|AB|
35、2R2d2284k11k21k2，下同方法一.方法三(1)证明 因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 P(0，1)，而|PC|50，否则，易造成增解或漏解.例 1 若过点 A(4,2)可以作两条直线与圆 C：(x3m)2(y4m)225(m4)2 相切，则点 A 在圆 C 的_(填“外部”、“内部”、“上面”)，m 的取值范围是_.错解 因为过点 A 与圆有两条切线，可见点 A 必在圆的外部.因为点 A 在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有 240m380，解得 m1912.故填外部，m0.正解 因为过点 A 与圆有两条切线，可见点 A 必在圆的外部.因为点 A
36、在圆的外部，则有(43m)2(24m)225(m4)2，因此有 240m380，解得 m0，所以 m4，因此 m 的取值范围是 m1912且 m4.答案 外部 m1，所以点 M 在圆 O 外.连接 MO 并延长，顺次交圆 O 于 D，E 两点，则|MD|PM|ME|，即|MO|r|PM|MO|r.所以|PM|的最小值为|MO|r 131，即(x2)2(y3)2 的最小值为(131)2142 13.评注 本例从运动变化的角度出发(让点 P 在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解.二、方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达
37、到解决问题的目的.例 2 已知过点(3,0)的直线 l 与圆 x2y2x6y30 相交于 P，Q 两点，且 OPOQ(其中O 为原点)，求直线 l 的方程.分析 由条件 OPOQ，若设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y10 x10y20 x201.由 P，Q 在圆及直线上，可借助方程求解.解 设直线 l 的方程为 xay30(a0)，则点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组x2y2x6y30，xay30，消去 y，得 x23xa2x63xa 30，即11a2 x26a26a1 x9a218a 30.所以 x1x23a218a9a21.由方程组消去 x，得(3ay)2y2
38、(3ay)6y30，即(a21)y2(7a6)y150.所以 y1y2 15a21.因为 OPOQ，所以y1x1y2x21，即 x1x2y1y20.由，得3a218a9a21 15a210.整理，得 a26a80.解得 a2 或 a4.故直线 l 的方程为 x2y30 或 x4y30.评注 本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决.三、转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法.一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题.例 3 求圆(x2)2(y3)24 上的点到直线 xy20
39、的最大距离与最小距离.分析 圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径.解 由圆的方程(x2)2(y3)24 易知其圆心坐标为(2，3)，半径 r2.所以圆心(2，3)到直线 xy20 的距离为 d|232|27 22.故圆(x2)2(y3)24上的点到直线 xy20 的最大距离为7 22 2，最小距离为7 22 2.评注 凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题.以上三例告诉我们，平面解析几何初步相关问题中，蕴含着丰富的数学思想，合理且正确地运用这些数学思想，对数学问题的有效解决意义重大.因此在平时的学习中应注意这些数学思
40、想的运用，并及时加以体会和总结.16 空间点的对称问题解决此类问题可以类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.求对称点的问题经常借助“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法.如关于y 轴的对称点坐标就是纵坐标不变，其余的两个变为原来的相反数；关于 yOz 平面的对称点，纵坐标、竖坐标都不变，横坐标变为原来的相反数.例(1)在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4)关于 x 轴的对称点的坐标是()A.(2,1，4)B.(2，1，4)C.(2，1,4)D.(2,1，4)(2)在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4)关于 xOy 平面的对称点的坐标是()A.(2,
41、1，4)B.(2，1，4)C.(2，1,4)D.(2,1，4)(3)在空间直角坐标系中，点 P(2,1,4)关于点 M(2，1，4)对称的点的坐标是()A.(0,0,0)B.(2，1，4)C.(6，3，12)D.(2,3,12)解析(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的数不变，在 y 轴，z 轴的数变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(2，1，4).(2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的数不变，在 z 轴的数变为原来的相反数，所以对称点 P2(2,1，4).(3)设对称点为 P3，则点 M 为线段 PP3 的中点，设 P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得 x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以 P3(6，3，12).答案(1)B(2)A(3)C评注 解决此类问题的关键是明确关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标的数的关系，可借助于图形，也可直接借助记忆口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”.