1、4.4 函数y=Asin(x+)的图象及应用-2-知识梳理 双基自测 2311.y=Asin(x+)的有关概念 y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)振幅 周期 频率 相位 初相 A T=2 f=1T=2 x+-3-知识梳理 双基自测 2312.用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示 x 0-2-32-2-x+2 32 y=Asin(x+)0 A 0-A 0 0 2 -4-知识梳理 双基自测 2313.由y=sin x的图象得y=Asin(x+)(A0,0)的图象的两种方法|2-5-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“
2、”.(1)把 y=sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为 y=sin12x.()(2)将 y=sin 2x 的图象向右平移3个单位长度,得到 y=sin 2-3 的图象.()(3)函数 f(x)=Asin(x+)(A0)的最大值为 A,最小值为-A.()(4)如果 y=Acos(x+)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为2.()(5)若函数 y=Asin(x+)为偶函数,则=2k+2(kZ).()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-6-知识梳理 双基自测 23415 答案 解析 解析 关闭由题意可知,将函数
3、 y=2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度得y=2sin 2 +12 =2sin 2+6 的图象,令 2x+6=2+k(kZ),得 x=2+6(kZ).故选 B.答案 解析 关闭B 2.(2016 全国甲卷,理 7)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=2 6(kZ)B.x=2+6(kZ)C.x=2 12(kZ)D.x=2+12(kZ)-7-知识梳理 双基自测 234153.函数 f(x)=2sin(x+)0,-2 2 的部分图象如图所示,则,的值分别是()A.2,-3B.2,-6C.4,-6D.4,3 答案 解析 解析 关闭
4、34T=512 -3,T=,=2.2512+=2k+2,kZ,=2k-3,kZ.又 -2,2,=-3,故选 A.答案 解析 关闭A-8-知识梳理 双基自测 234154.已知简谐运动的函数 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的函数的最小正周期T和初相分别为 .f(x)=2sin 3 +|2 答案 解析 解析 关闭由题意知 1=2sin,得 sin=12.又|0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为,求的最小值.思考作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象有哪些方法?512,0 -12-考点1 考点2 考点3 解(1)根据表中已知数据,解得 A=5,
5、=2,=-6.数据补全如下表:x+0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x+)0 5 0-5 0 且函数表达式为 f(x)=5sin 2-6.(2)由(1)知 f(x)=5sin 2-6,得 g(x)=5sin 2+2-6.-13-考点1 考点2 考点3 因为 y=sin x 图象的对称中心为(k,0),kZ,所以令 2x+2-6=k,kZ,解得 x=2+12-,kZ.由于函数 y=g(x)的图象关于点 512,0 成中心对称,令2+12-=512,kZ,解得=2 3,kZ.由 0 可知,当 k=1 时,取得最小值6.-14-考点1 考点2 考点3 解题心得1.函数
6、y=Asin(x+)(A0,0)的图象的两种作法:(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用来确定平移单位.0,2,32,2 x+=+-15-考点1 考点2 考点3 对点训练1已知函数(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明的图象可
7、由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.y=2sin 2+3,y=2sin 2+3 解(1)y=2sin 2+3 的振幅 A=2,周期 T=22=,初相=3.-16-考点1 考点2 考点3(2)令 x=2x+3,则 y=2sin 2+3=2sin x.列表:x-6 12 3 712 56 x=2x+3 0 2 32 2 y=sin x 0 1 0-1 0 y=2sin 2x+3 0 2 0-2 0 描点连线得函数图象:-17-考点1 考点2 考点3(3)把 y=sin x 的图象上所有的点先向左平移3个单位,得到y=sin +3 的图象,再把 y=sin +3 的图象上的点的横坐标缩短到原
8、来的12(纵坐标不变),得到 y=sin 2+3 的图象,最后把y=sin 2+3 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin 2+3 的图象.-18-考点1 考点2 考点3 考点 2 求函数 y=Asin(x+)的解析式(多考向)考向一 由函数的图象求函数y=Asin(x+)的解析式 例2函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin 2-6 B.y=2sin 2-3 C.y=2sin +6 D.y=2sin +3 思考由y=Asin(x+)+b(A0,0)的图象求其解析式的方法和步骤是怎样的?答案 答案 关闭A-19-考点1 考点2 考点3
9、解析:由题图知,A=2,周期 T=2 3-6 =,所以=2=2,y=2sin(2x+).方法一:因为函数图象过点 3,2,所以 2=2sin 2 3+.所以23+=2k+2(kZ).令 k=0,得=-6,所以 y=2sin 2-6,故选 A.-20-考点1 考点2 考点3 方法二:因为函数图象过点-6,-2,所以-2=2sin 2 -6+,所以 2-6+=2k-2,kZ,即=2k-6,kZ.令 k=0,得=-6,所以 y=2sin 2-6.故选 A.-21-考点1 考点2 考点3 考向二 由函数y=Asin(x+)的性质求解析式(1)求和的值;思考如何由函数y=Asin(x+)的性质确定A,?
10、例 3 已知函数 f(x)=3sin(x+)0,-2 2 的图象关于直线 x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(2)当 x 0,2 时,求函数 y=f(x)的最大值和最小值.-22-考点1 考点2 考点3 解(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以 f(x)的最小正周期 T=,从而=2=2.又因为 f(x)的图象关于直线 x=3对称,所以 23+=k+2,kZ,又-20,0)的解析式的步骤和方法:(1)求 A,b:确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=-2,b=+2.(2)求:确定函数的周期 T,则可得=2.(3)求:把图象上的一个已知点代入来求.寻找“五点法”中
11、的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时,x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,x+=2;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时,x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)时,x+=32;“第五点”时,x+=2.2.由函数y=Asin(x+)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定,由函数的奇偶性或对称性确定.-24-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)(2016 山西朔州模拟)函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0,0,0)的两个相邻最值点为 6,2,23,-2,则这个函数的解析式为 .答案 答案 关闭(1)-1(2)
12、y=2sin 2+6 -25-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由题中图象得 A=2,14 2=56 712,解得=2.又因为图象经过点 712,0,所以 2712+=k,kZ,又|2,所以=-6.故 f(x)=2sin 2-6.又 x 0,2,所以 2x-6 -6,56 .所以 f(x)的最小值为 2-12=-1,故答案为-1.-26-考点1 考点2 考点3(2)由题意可知 A=2.又相邻最值点相距半个周期,即2=23 6=2,故 T=,即=2,则函数解析式为 y=2sin(2x+).又点 6,2 在函数的图象上,2=2sin 3+,即3+=2k+2,kZ,解得=2k+6,kZ.0,=6.
13、函数的解析式为 y=2sin 2+6.-27-考点1 考点2 考点3 考点 3 函数 y=Asin(x+)性质的应用 例4已知函数f(x)=3sin(x+)-cos(x+)(00)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为2.(1)求 f 8 的值;(2)求函数 y=f(x)+f +4 的最大值及对应的 x 的值.思考如何求解三角函数图象与性质的综合问题?-28-考点1 考点2 考点3 解(1)f(x)=3sin(x+)-cos(x+)=2 32 sin(+)-12 cos(+)=2sin +-6.因为 f(x)为偶函数,所以-6=2+k(kZ),解得=23+k(kZ).又
14、0,所以=23.所以 f(x)=2sin +2=2cos x.由题意得2=22,所以=2.所以 f(x)=2cos 2x.故 f 8=2cos4=2.-29-考点1 考点2 考点3(2)y=2cos 2x+2cos 2 +4 =2cos 2x+2cos 2+2=2cos 2x-2sin 2x=22sin 4-2.当4-2x=2k+2(kZ),即 x=k-8(kZ)时,y 有最大值 22.-30-考点1 考点2 考点3 解题心得解决三角函数图象与性质综合问题的方法:先将y=f(x)化为y=asin x+bcos x的形式,再用辅助角公式化为y=Asin(x+)的形式,最后借助y=Asin(x+)
15、的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.-31-考点1 考点2 考点3 对点训练 3(2016 山西运城 4 月模拟)为了研究钟表与三角函数的关系,以 9 点与 3 点所在直线为 x 轴,以 6 点与 12 点所在直线为 y轴,设秒针针尖指向位置 P(x,y),若初始位置为P0 12,32 ,秒针从 P0(注此时 t=0)开始沿顺时针方向走动,则点 P 的纵坐标 y 与时间 t(秒)的函数关系为()A.y=sin 30 +3 B.y=sin 30-3 C.y=sin-30 +3 D.y=sin-30-3 答案 答案 关闭C-32-考点1 考点2 考点3 解析:由于秒针每 60 秒顺时针转一周,故转速=-260=-30.由于初始位置为 P0 12,32 ,故经过时间 t,秒针与 x 正半轴的夹角为-30t+3,再由秒针的长度为|OP|=1,可得点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 y=sin-30 +3,故选 C.
