1、23直线与圆、圆与圆的位置关系23.1直线与圆的位置关系考纲定位重难突破1.理解并掌握直线与圆的位置关系：相切、相交、相离2.会用几何法和方程组法判断直线与圆的位置关系3.会求简单的弦长问题、圆的切线方程等问题.重点：利用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系，以及求相应直线方程时斜率不存在的情形难点：圆与方程、不等式等结合命题疑点：已知直线与圆的位置关系，求相应直线方程时注意斜率不存在的情形.授课提示：对应学生用书第51页自主梳理直线AxByC0(A2B20)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系及判定方法位置关系相交相切相离公共点个数210判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddr代数
2、法：由消元得到一元二次方程的判别式为002.所以直线与圆的位置关系为相离答案：D2若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切，则a的值为()A1，1 B2，2C1 D1解析：由于圆x2y22x0的圆心坐标为(1,0)，半径为1，则由已知有1，解得a1.答案：D3若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是()A(10,0) B(0,10)C(，10)(0，) D(，0)(10，)解析：将圆的方程化为标准方程，得(x1)2(y2)21，则圆心坐标为(1，2)，半径为1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即1，解得m0或m10，则实数m的取值范
3、围是(，0)(10，)，故选D.答案：D4已知圆心在y轴上，半径为的圆与直线2xy0相切，则圆的方程是_解析：设圆心为(0，b)，则r，解得b5，所以圆的方程为x2(y5)25或x2(y5)25.答案：x2(y5)25或x2(y5)255已知圆x2y24x6y120的内部有一点A(4，2)，则以A为中点的弦所在的直线方程为_解析：由垂径定理知点A与圆心的连线与弦垂直，由于圆的圆心坐标为B(2，3)，所以直线AB的斜率为.因此所求直线方程为y2(2)(x4)，即2xy60.答案：2xy60授课提示：对应学生用书第51页探究一直线与圆的位置关系的判断典例1已知圆的方程是x2y22，直线yx，当b为
4、何值时，圆与直线相交、相切、相离？解析解法一判断直线与圆位置关系的问题可转化为求当b为何值时，方程组有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题代入，整理得2x22 xb20.方程的根的判别式(2)242(b2)164b，当0b0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b4时，0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b4时，0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离解法二圆心(0,0)到直线yx的距离为d，圆的半径r.当dr，即，0br，即，b4时，直线与圆相离，所以当0b4时，直线与圆相离直线与圆的位置关系
5、的判断方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断1已知两平行直线4x2y70,2xy10间的距离等于坐标原点O到直线l：x2ym0(m0)的距离的一半(1)求m的值；(2)判断直线l与圆C：x2(y2)2的位置关系解析：(1)2xy10可化为4x2y20，则两平行直线4x2y70,2xy10之间的距离为，则点O到直线l：x2ym0(m0)的距离为，m5.(2)圆C：x2(y2)2的圆心C(0,2)，半径r，点C到直线l的距离为，直线l与圆C相切探究二直线与圆相切问题典例2圆C与直线2xy50切于点(2,1)，且
6、与直线2xy150也相切，求圆C的方程解析过A(2,1)与两直线垂直的直线方程为y1(x2)，即yx.由解得则A(2,1)，B(6，3)是圆C的直径的两个端点，于是圆心为(2，1)，半径r|AB|2.圆C的方程为(x2)2(y1)220.1求过圆上的一个已知点的圆的切线方程常用直接法，步骤如下：(1)求切点与圆心连线的斜率k(k存在，且k0)；(2)由垂直关系得切线斜率为；(3)代入点斜式方程得切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程常用待定系数法，步骤如下：(1)设切线方程为yy0k(xx0)(k存在)；(2)求出圆心到该直线的距离d(或将切线方程与圆的方程联立消元)；(3)根据d
7、r求得k的值(或根据0求得k的值)；(4)将k的值代入即得切线方程2过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程解析：点A到圆心C的距离为1，点A在圆外若所求直线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，整理得kxy4k30.圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，1，即|k4|.解得k.所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360.若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程是x4.综上所述，所求切线方程为15x8y360或x4.探究三弦长问题典例3如图所示，求经过点P(6，4)且被定圆x2y220
8、截得弦长为6的直线的方程解析如图所示，作OCAB于C，连接OA，则AB6，OA2.在RtOAC中|OC|.显然直线的斜率存在，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y4k(x6)，即kxy6k40.圆心到直线的距离为，即17k224k70.k1或k.所求直线的方程为xy20或7x17y260.求弦长的常用方法(1)代数法：将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d|x2x1|.(2)几何法：设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有2d2r2，故l2，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，数形结合利用勾股定
9、理得到3(1)直线x2y50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_；(2)设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a_.解析：(1)圆心(0,0)到直线x2y50的距离d，因此|AB|222.(2)圆心到直线的距离d，由，得a0.答案：(1)2(2)0直线与圆的综合问题典例(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程规范解答(1)设P(x，y)，半径为r，由题意知y22r2，x23r2，即y22x23，故P点轨迹方程为y2x
10、21.4分(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P点在曲线y2x21上，从而得6分得此时圆的半径r；8分得此时，圆的半径r.10分故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.12分规范与警示正确列出点P满足的关系式是求轨迹方程的关键点，也是失分点对绝对值的关系式要进行讨论，解题要全面在解答此类问题时，首先要认真分析题设条件，找出条件与结论之间的关系，选取合理的解题思路对题目中出现的参数，含绝对值的问题时，一定要注意进行分类讨论随堂训练对应学生用书第53页1以点(2，1)为圆心，且与直线3x4y50相切的圆的方程为()A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29
11、 D(x2)2(y1)29解析：圆心到直线3x4y50的距离d3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)29.答案：D2直线xy20截圆x2y24得到的弦长为()A1 B2C2 D2解析：圆心到直线的距离d1，又r2，所以弦长为22.答案：B3若直线2xay30与圆x2y22x40相切，则实数a等于_解析：圆的方程可化为(x1)2y25，因此圆心坐标为(1,0)，半径r，依题意得，解得a1.答案：14过点P(2,4)作圆C：(x2)2(y1)225的切线l，直线l1：ax3y2a0与l平行，则l1与l间的距离为_解析：由题意，知直线l1的斜率k.则设直线l的方程为y4(x2)，即ax3y2a120.由l与圆C相切，得5，解得a4，所以l的方程为4x3y200，l1的方程为4x3y80，则两直线间的距离为.答案：5已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x3y0上，且圆C在直线l2：xy0上截得的弦长为2，求圆C的方程解析：因为圆心C在直线l1：x3y0上，所以可设圆心坐标为(3t，t)又圆C与y轴相切，所以圆的半径为r|3t|.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得2()2|3t|2，解得t1.所以圆心坐标为(3,1)或(3，1)，半径为3.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.
