1、2.2 基本不等式同步卷一、单选题 1已知,用基本不等式求的最小值时,有,则取得最小值时的值为()ABCD32若,且,则下列不等式一定成立的是()ABCD3设,其中、是正实数,且,则与的大小关系是()ABCD4设,下列不等式正确的是()ABCD5已知,给出以下不等式:;,则其中正确的个数为()A0B1C2D36已知,则的最大值为()A2B4C5D67当时,函数的最小值为()ABCD48若实数满足:,则的最小值为()A1B2C3D49若不等式对满足条件的恒成立,则实数k的最大值为()A2B4C6D810函数的值域()ABCD11设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢,按交通部门的规定车厢宽度为
2、,则车厢的最大容积是()A(383 m3B16 m3C4 m3D14 m312若,且,则下列不等式恒成立的是()ABCD二、填空题13若正数满足,则的最大值为_14若实数,满足,则的取值范围为_15已知,则与的比较_16实数满足,则的最大值为_.17当时,函数的最小值为_18已知正实数a,b,满足,则的最大值为_19已知,且,若不等式恒成立,则实数m的取值范围_20当时,的最大值为 _三、解答题 21已知a,b,c均为正实数,求证:(1);(2)22若正数,满足(1)求的最大值;(2)求的最小值23若对任意实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围24已知,且.(1)若恒成立,求的取值范围;(2
3、)证明:.25已知函数.(1)当,求函数的值域;(2)当时,是否存在实数a,使的图象都在函数的图象的下方?若存在,求实数a的取值范围;若不存在,说明理由.1C【详解】因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,即取得最小值故选:C2C【详解】对于A,若,则满足,且,而,所以A错误,对于B,若,则满足,且,而,所以B错误,对于C,因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,而,所以取不到等号,所以,所以C正确,对于D,若,则满足,且,而,所以D错误,故选:C3B【详解】因为、是正实数,且,则,因此,.故选:B.4D【详解】对于A,由均值不等式,当且仅当,即时取“”,A错误;对于B,所以,B错误;对于C,C
4、错误;对于D,由,得,当且仅当时,取“”,D正确.故选:D5B【详解】对于:因为,所以,所以,即.故正确;对于:取满足,但是,所以不一定成立.故错误;对于:取满足,但是,此时,所以不一定成立.故错误.故选:B6A【详解】因为,所以可得,则,当且仅当,即时,上式取得等号,的最大值为2故选:A7B【详解】因为,所以,当且仅当 ,即时,等号成立故选:B8A【详解】因为,所以,由基本不等式可得,故,解得或(舍),即当且仅当时等号成立,故的最小值为1,故选:A.9B【详解】解:根据,当且仅当时,取等号,化简可得,因为,所以,所以运用,可得,当且仅当,即时,取等号,又因为恒成立,所以,即k的最大值是4故选
5、:B10D【详解】解:令,所以,因为对勾函数在上单调递减,且没有最大值,所以所以,故选:D11B【详解】设长方体车厢的长为xm,高为hm,则,即,即,解得,车厢的容积为当且仅当且,即时等号成立车厢容积的最大值为选B12D【详解】由,且,可得,当且仅当时,等号成立,对于A中,由,所以A错误;对于B中,所以B错误;对于C中,由,可得,所以C错误;对于D中,所以,所以,所以D正确.故选:D.13【详解】正数满足,解得,当且仅当时,即等号成立,的最大值为故答案为:14【详解】由于,(当且仅当时取等号),又,所以,故,即的取值范围为.故答案为:15【详解】因为,可得,且,当且仅当时,等号成立,所以,可得
6、,所以.故答案为:16【详解】因为实数满足,所以由基本不等式可得:(当且仅当,即时等号成立),所以.即的最大值为.故答案为:.17【详解】因为,则,则,当且仅当时,等号成立,所以,当时,函数的最小值为.故答案为:.18【详解】解:因为正实数,满足,则,因为,所以,当且仅当时取等号,令,则原式,当且仅当,即时取等号,此时取得最大值,故答案为:.19【详解】因为,且,所以,当且仅当时等号成立,又不等式恒成立,所以,即,解得故答案为:.20或0.75【详解】当时,当且仅当x,即x2时等号成立.即的最大值为故答案为:21(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)将左边变形为,然后利用基本不等式可证
7、得结论,(2)利用可证得,同理可得,3个式相加可证得结论.(1)证明:左边,当且仅当时取“”故(2)证明:因为,当且仅当时取“”,所以,所以,所以,同理,当且仅当时取取“”,当且仅当时取“”+,得,当且仅当时等号成立22(1)(2)【分析】(1)对直接利用基本不等式,即可得出的最大值;(2)将看作一个整体,由,展开后,再利用基本不等式,即可得出答案.(1)因为,所以,当且仅当时等号成立,所以当,时,(2),当且仅当时等号成立,当,时,23【详解】令当时,当时,当且仅当时等号成立或即或或或综合得因为不等式恒成立,则.24(1);(2)证明见解析.【分析】(1)先通过基本不等式求出的最小值,进而解出不等式即可;(2)先进行变形,然后通过基本不等式证得答案.(1)已知,且.则,当且仅当时,取到最小值,所以,即,解得.(2),当且仅当,即时,等号成立.所以.25(1)(2)存在,【分析】(1)对x分类讨论,利用基本不等式法求最值,即可得到值域;(2)假设存在a符合题意,利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围.(1)当,函数的定义域为R.若,则y=0;若,函数,所以;若,则,函数,所以,即;综上所述:,即函数的值域为(2)假设存在实数a符合题意,即对任意实数,都有恒成立,即对任意实数,因为在时,所以,即存在实数满足题意.