1、1直线与直线的方程11直线的倾斜角和斜率考纲定位重难突破1.掌握直线的倾斜角的概念2.掌握直线的斜率的概念，并理解斜率与倾斜角之间的关系3.能熟练地运用斜率的定义及两点斜率公式求直线的斜率.重点：直线倾斜角的概念及斜率的概念与计算难点：倾斜角的范围与斜率的范围之间的转化疑点：直线的倾斜角与斜率之间的关系.授课提示：对应学生用书第34页自主梳理一、直线的倾斜角1定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角2当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.3当直线l和y轴平行时，它的倾斜角为90.4倾斜角的取值范围是
2、0180.5直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度二、直线的斜率1定义：对于倾斜角不是直角的直线，它的倾斜角的正切值叫作直线的斜率，记作ktan_.2倾斜角为90的直线的斜率不存在3斜率的求法(1)定义法：已知倾斜角(90)，ktan_.(2)两点法：在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)，则斜率k.双基自测1下面四种说法正确的个数是()直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，而直线的斜率不能表示直线的倾斜程度；直线的倾斜角越大其斜率就越大；直线的斜率越大其倾斜角就越大；任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率A0B1C2D3解析：只有正确答案：B2直线y1的倾斜角为
3、()A0 B90 C180 D不存在解析：直线y1平行于x轴，倾斜角为0.答案：A3过点A(1，3)和点B(2,4)的直线的斜率为()A. B C7 D7解析：k7.答案：C4给出下列命题：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为0的直线只有一条，为x轴；倾斜角为60的直线有无数条，它们的斜率为.其中正确命题的序号为_解析：由倾斜角的定义可知每条直线都有唯一的倾斜角，正确；倾斜角的取值范围是0180，不可能是负角，不正确；倾斜角为0的直线有无数条，它们是互相平行的，故不正确；正确答案：5已知A(1,2)，B(3,2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和2，则点P的坐标
4、为_解析：设P(x，y)，则2且2，x1，y6.答案：(1,6)授课提示：对应学生用书第34页探究一直线的倾斜角问题典例1(1)如图，AOB为等腰直角三角形，则直线OA，OB，AB的倾斜角分别为_；(2)直线l经过坐标原点，且倾斜角为120，若将直线l绕原点逆时针方向旋转30，得到直线l1，则l1的倾斜角为_解析(1)因为AOB为等腰直角三角形，所以AOBABO45，因此直线OA的倾斜角为45，直线AB的倾斜角为18045135，又直线OB与x轴重合，所以其倾斜角为0.(2)依题意知，将x轴绕原点逆时针旋转120时，得到直线l，再逆时针旋转30得到直线l1，故l1的倾斜角为12030150.答
5、案(1)45，0，135(2)150(1)求直线的倾斜角时，要依据题意画出图形，然后根据直线倾斜角的定义，找出直线向上的方向与x轴正方向的夹角，即得直线的倾斜角(2)结合图形求倾斜角时，要注意充分运用平面几何中的相关知识，如三角形内角和定理及其推论等1求图中各直线的倾斜角解析：(1)如图(1)，可知OAB为直线l1的斜倾角易知ABO30，OAB60，即直线l1的倾斜角为60.(2)如图(2)，可知xAB为直线l2的倾斜角，易知OBA45，OAB45，xAB135，即直线l2的倾斜角为135.(3)如图(3)，可知OAC为直线l3的倾斜角，易知ABO60，BAO30，OAC150，即直线l3的倾
6、斜角为150.探究二求直线的斜率典例2(1)已知两条直线的倾斜角分别为60，135，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3,2)，B(4,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，AC的斜率；(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率解析(1)直线的斜率分别为k1tan 60，k2tan 1351；(2)直线AB的斜率kAB；直线BC的斜率kBC；直线AC的斜率kAC1.(3)当m2时，直线AB的斜率不存在；当m2时，直线AB的斜率kAB.1求直线的斜率通常有两种方法：一是已知直线的倾斜角(90)时，可利用斜率的定义，即ktan 求得；二是已知直线所经过的两点的坐标时，可利用过两点的直线
7、的斜率公式计算求得2使用斜率公式k求斜率时，要注意其前提条件是x1x2，若x1x2，即两点的横坐标相等时，直线斜率不存在 2(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90到达l位置，求l的斜率解析：(1)由于两点的横坐标不相等，所以直线存在斜率，根据直线的斜率公式，得直线的斜率为k4.(2)直线l的斜率k1，所以直线l的倾斜角为45，所以直线l的倾斜角为4590135，即l的斜率k tan 1351.探究三斜率的应用典例3已知P(3，1)，M(5,1)，N(1,1)，直线l过P点且与线段MN相交，求：(1)直线l的倾斜角的取
8、值范围；(2)直线l的斜率k的取值范围解析因为kPM1，所以直线PM的倾斜角为45.又kPN1，所以直线PN的倾斜角为135.(1)由图可知，直线l过P点且与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围是45135.(2)当l垂直于x轴时，直线l的斜率不存在，所以直线l的斜率k的取值范围是k(，11，)已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，要注意对倾斜角按锐角和钝角两种情况分别进行分析求解；已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，应对斜率分正值和负值两种情况分别进行分析求解3(1)a为何值时，过点A(2a,3)，B(2，1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？(2)若直线l的倾斜角120，且
9、tan 120，求其斜率的取值范围；(3)若直线l的斜率k1，求其倾斜角的取值范围解析：(1)当过点A，B的直线的倾斜角是锐角时，kAB0，根据斜率公式得kAB0，所以a1；同理，当倾斜角为钝角时，kAB0，即0，所以a120，所以120180，即l的倾斜角是比120大的钝角，而120角对应的斜率为tan 120，故斜率的取值范围是k0.(3)由于直线l的斜率k1，所以其倾斜角一定是锐角，又当k1时，其倾斜角为45，所以其倾斜角的取值范围是4590.数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用典例已知A(3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点P的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k
10、的取值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解析如图所示，由题意可知，kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45，135感悟提高(1)已知一条线段AB的端点及线段外一点P，过点P的直线l与线段有交点的情况下，求直线l斜率的范围的方法：连接PA、PB；由k(x1x2)，求出kPA，kPB；结合图形，写出满足条件的直线l斜率的范围(2)数形结合思想是一种重要的数学思想，在解析几何中经常用到，借助图形的直观性很容易阐明数与数
11、之间的关系，而且也会使复杂的问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快速得到解决随堂训练对应学生用书第36页1给出以下说法：任何直线都有唯一的倾斜角；任何直线都有唯一的斜率；倾斜角是0的直线只有一条；直线的倾斜角可以是60.其中正确的个数是()A0B1C2 D3解析：由直线倾斜角的定义知正确；由斜率的定义知错误；倾斜角是0的直线有无数条，它们都与x轴平行或重合，错误；直线的倾斜角的取值范围是0，180)，故错误答案：B2如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k3k2解析：由图知直线l1的倾斜角为钝角，k10.又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，0k3k2，k1k3k2.答案：D3经过两点M(3,2)，N(4,6)的直线的斜率等于_解析：kMN4.答案：44已知直线l经过点P(1,2)和Q(x,0)(1)若l的倾斜角为45，求x的值；(2)若l的倾斜角为钝角，求x的取值范围解析：(1)l的倾斜角为45，则kltan 451，亦即kPQ1，于是1，解得x1.(2)l的倾斜角为钝角，则kl0，亦即kPQ1.