1、 华二附中高三月考数学试卷2020.12一. 填空题1. 行列式中，元素6的代数余子式的值为 2. 若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标的值为 3. 若集合，则 4. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是 5. 函数的定义域为 6. 某商场在双11的促销活动中，对11月11日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 万元7. 若关于的方程有大于1的实数根，则实数的取值范围是 8. 已知空间中的一条线段，若在其三视图中的线段长度分别为5，则该线段的长度为 9. 某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参
2、加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站成一排合影留念，若农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法的种数共有 （用数字作答）10. 已知、与、是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为 11. 如图，已知，为的中点，分别以、为直径在的同侧作半圆，、分别为两半圆上的动点（不含端点、），且，则的最大值为 12. 已知函数对于任意实数，都有，则函数值，中最多有 个不同的数值二. 选择题13. 如果正数、，满足，那么（ ）A. ，且等号成立时、的取值唯一 B. ，且等号成立时、的取值唯一C. ，且等号成立时、的取值不唯一 D. ，且等号成立时、的取
3、值不唯一14.“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的（ ）条件A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 非充分非必要15. 在中，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对16. 已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（ ）A. 13 B. 14 C. 15 D. 16三. 解答题17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，为的中点，. （1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离.18. 小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔（）垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西60的方向每小时60千米的速
4、度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为60.（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60，约为多少分钟？（分钟保留两位小数）（2）求东方明珠塔的高度约为多少米.（保留两位小数）19. 已知函数，若存在非零实数、，使得对定义域内任意的，均有成立，则称该函数为阶梯周期函数.（1）判断函数是否为阶梯周期函数，请说明理由.（其中表示不超过的最大整数，例如：，）（2）已知函数，的图像既关于点对称，又关于点对称. 求证：函数为阶梯周期函数； 当时，（、为实数），求函数的值域.20. 已知椭圆.（1）若椭圆的焦距为，长轴长
5、为4，求椭圆的方程；（2）设直线与题（1）的椭圆交于、两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系；（3）过不在椭圆的任意一点作两条直线、，分别交椭圆于、和、两点，若、的倾斜角分别为、，且满足，证明：.21. 若正整数的二进制表示是，这里（），称有穷数列1，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.（1）求的生成数列的项数；（2）求由的生成数列，的前项的和（用、表示）；（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.参考答案一. 填空题1. 2. 3 3. 4. 5. 6. 10 7. 8. 9. 16 10. 11. 12. 【第10题】本题改编自2019长宁嘉定一模卷第
6、12题12. 已知、与、是个不同的实数，若关于的方程的解集是有限集，则集合中最多有 个元素【解析】转化为和图像交点，由此类函数的图像可知，如图最多可有3个交点，即集合中最多有3个元素.本题在减少一个绝对值后，反而有了一定的欺骗性. 1个交点容易得到，但0个交点和2个交点的情况，是不存在的. 为了简化问题，我们可以研究. 假设有0个交点，设，由题意，而由三角不等式，故矛盾，不可能有0个交点. 假设有2个交点，明显矛盾， 不可能有2个交点. 其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类 【第11题】如图，设，即 【第12题】由题意，图像关于、对称，函数有周期性，设周期为，、，880和528最大公
7、约数为176，在同一周期中函数值最多有177个不同的值. 二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）.18.（1）分钟；（2）米.19.（1）是，；（2）证明略；，.20.（1）由题意得，所以， 所以椭圆； （2）设， 由得， 所以， 法一：因为， 所以 ， 所以，又不共线，所以为锐角， 所以点在以线段为直径的圆外； 法二：设线段的中点为，则， ， ， 所以 ，所以， 所以点在以线段为直径的圆外； （3）（直线的参数方程）设，直线（为参数），直线（为参数），分别代入椭圆方程，得 ， ， 因为，所以， 所以，即.21.）因为， 所以 且， ， 故
8、确定即可确定的生成数列的项数， 令，解得， 因为，所以， 所以的生成数列的项数为； （2）法一：（数学归纳法） 当时， 当时， 当时， ， 猜想：，接下来用数学归纳法证明， 当时，已证， 假设结论对成立，则对有 ， 故结论对也成立，所以；法二：分和考虑， 当这种形式时，这种有个， 当这种形式时，这种有个， 当这种形式时， 当时， 倒序相加得 ， 所以 法三：（找递推关系）此处省略，供大家自由发挥.（3）对，设二进制表示下，我们证明不存在， 使得， 事实上，对这样的，有， 如果存在，使得， 设的二进制表示为，则， 若，则，这时，如果， 那么（因为，所以），矛盾， 如果，那么或，也矛盾， 设时可以推出矛盾，考虑的情形， 若，则 ，矛盾， 若，则 ，矛盾， 上述推导中都用到了， 所以，这时，记， 进而，有， 于是，由得， 与归纳假设不符. 综上所述，存在无穷多个正整数，使得不存在正整数，满足.