1、2.2函数的表示法(一)内容标准学科素养1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数3.能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的变化趋势.加强逻辑推理提升数学运算增强直观想象授课提示：对应学生用书第20页基础认识知识点函数的表示法某同学计划买x(x1,2,3,4,5)支2B铅笔，每支铅笔的价格为0.5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系(1)函数的定义域是什么？提示：1,2,3,4,5(2)y与x有何关系？提示：y0.5 x.(3)试用表格表示y与x之间的关系提示：表格如下：支数(x)12345钱数(y)0.51
2、1.522.5知识梳理函数的表示方法思考：1.任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示2你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非所有的函数都有解析式列表法不需计算可以直接看出自变量对应的函数值仅能表示自变量取较少的有限的对应关系图像法能形象直观地表示函数的变化情况只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大3.如何判断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义
3、域上移动此直线，若直线l与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像 自我检测1下列各图像中，不可能是函数yf(x)的图像的有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：判断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满足定义域内的任意一个x，都有唯一确定的y与之对应故可能是函数图像一定不是yf(x)的图像答案：B2下列用图表给出的函数关系中，当x6时，对应的函数值y()x0x11x55x10x10y1234A.2 B3 C4 D无法确定解析：5x10时，y3，x6时，y3.答案：B3已知f(x)是正比例函数且过点(1,1)，则f(x)_.解析：设f(x)kx(k0)
4、，由题意可知f(1)k1，f(x)x.答案：x授课提示：对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法例1下列式子或表格：y2x，其中x0,1,2,3，y0,2,4；x2y22；y；x12345y9089888595其中表示y是x的函数的是_思路点拨解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满足函数的定义解析不表示y是x的函数，因为当x3时，y没有值与其对应；不表示y是x的函数，因为当x1时，y1，即y有两个值与x的值对应；不表示y是x的函数，因为原表达式中x；能表示y是x的函数，因为该表格既满足函数概念中的确定性也满足唯一性答案方法技巧函数表示法的注意事项：(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表
5、示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义跟踪探究1.某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来解析：(1)列表法：x(台)12345678910y(元)3 0006 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：如图所示：(3)解析法：y3 000x，x1,2,3，10探究二求函数的解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知f(x1)x2x1，求f(x)；(2)已知f
6、(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；(3)已知f(x)满足2f(x)f3x，求f(x)思路点拨(1)用换元法(2)用待定系数法(3)用消元法解析(1)令x1t，则xt1，f(t)(t1)2(t1)1t2t1，f(x)x2x1.(2)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，f(x)2x7.(3)2f(x)f3x把中的x换成，得2ff(x)2得3f(x)6x，f(x)2x.易错分析本题(3)在求解过程中常因不理解“2f(x)f3x”而找不到解题思路延伸探究(1)把例2的(1)换成f(1)x2，
7、求f(x)；(2)把例2的(3)换成2f(x)f(x)3x，求f(x)解析：(1)令1t，则t1(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21(x1)(2)用x代2f(x)f(x)3x中的x得2f(x)f(x)3x，f(x)3x.方法技巧求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系解答此类问题时，可根据已知条件选择不同的方法求解求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式(2)代入法：已知f
8、(x)的解析式，求f(g(x)的解析式，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.(3)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x)中求出f(t)，从而求出f(x)(或将f(g(x)的解析式转化为含g(x)的表达式，然后直接整体代换g(x)(4)方程组法：这种方法针对于特殊题型，如同时出现f(x)和f或f(x)时，需把f(x)，f或f(x)分别看作一个整体，通过解方程组消去不需要的f或f(x)，解出f(x)的解析式，这种方法也称为消元法跟踪探究2.(1)已知f(x1)x23x2
9、，求f(x)；(2)已知fx2，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式；(4)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)2f(x)3x2，求f(x)解析：(1)令x1t，则xt1，将xt1代入f(x1)x23x2，得f(t)(t1)23(t1)2t25t6，f(x)x25x6.(2)fx222，f(x)x22.(3)设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)f(0)1，c1，则f(x)ax2bx1.f(x1)f(x)2x对任意xR成立，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，由恒等式的性质，得所求二次函数
10、为f(x)x2x1.(4)因为对于任意的x都有f(x)2f(x)3x2，将x替换为x得f(x)2f(x)3x2，联立方程组消去f(x)，可得f(x)3x.探究三函数的图像例3作出下列函数的图像并求其值域：(1)y1x(xZ)；(2)y2x24x3(0x3)思路点拨看函数的类型看函数的定义域描点、连线、成图解析(1)因为xZ，所以函数图像为一直线上的孤立点(如图(1)，由图像知，yZ.(2)因为x0,3)，故函数图像是一段抛物线(如图(2)，由图像知，y5,3)方法技巧函数的图像能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时常常借助于图像(1)作函数图像主要有三步：列表、描点、连线作图像时一
11、般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最后列表画出图像(2)函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈跟踪探究3.作出下列函数的图像：(1)y2x1，x0,2；(2)y，x2，)解析：(1)当x0时，y1；当x1时，y3；当x2时，y5.图像过(0,1)，(1,3)，(2,5)点图像如图所示：(2)当x2时，y1；当x4时，y；当x6时，y.图像如图所示：授课提示：对应学生用书第22页课后小结1如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对
12、应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域，主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)2如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线，作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式、再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点、端点的虚实问题等3如何用函数图像常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题素养培优忽略变量的实际意义而致误易错案例：如图所示，在矩形ABCD中，BA3，CB4，点P在AD上移动，CQBP，Q为垂足设BPx，CQy，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图像易错分析：从实际问题中得到的函数，求其定义域时，不仅要使函数有意义，而且还要使实际问题有意义考查逻辑推理、直观想象的学科素养自我纠正：由题意，得CQBBAP，所以，即.所以y.因为BABPBD，而BA3，CBAD4，所以BD5，所以3x5，故所求的函数表达式为y(3x5)如图所示，曲线MN就是所求的函数图像