1、每日一题规范练(第四周)题目1(本小题满分12分)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(导学号 55410158)(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解：(1)因为f(x)sin xcos xsin，且T，所以2，于是f(x)sin.令2xk，kZ，得x(kZ)，故函数yf(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由x，取k0，得x，所以f(x)在上的单调增区间为.由2k2x2k，且x，取k0，得x，所以f(x)在上的单调减区间是.题目2(本小题满分12分)已知数列an是等差数列，a104a3，a4
2、3a17.(1)求通项公式an；(2)若bnan2an2，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的首项为a1，公差为d，依题意得解得所以ana1(n1)d3n2(nN*)(2)bnan2an23n223n3n28n，Snb1b2bn(1473n2)(81828n)(18n)(18n)题目3(本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为13，且成绩分布在40，100，分数在80以上(含80)的同学获奖按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示文理科是否获奖文科生理科生总计获奖5不获奖总计(1)求a的值，并计算
3、所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写题中的22列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？解：(1)a1(0.010.0150.030.0150.005)10100.025，x450.1550.15650.25750.3850.15950.0569.(2)文科生人数为20050，获奖学生人数为200(0.150.05)40，故22列联表如下：文理科是否获奖文科生理科生总计获奖53540KS5UKS5U不获奖45115160总计50150KS5UKS5U200因此K24.1673.841.所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、
4、理科有关”题目4(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为梯形，ADBC，CDBC，AD2，ABBC3，PA4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC3PN.(1)求证：MN平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离(1)证明：在平面PBC内作NHBC交PB于点H，连接AH，在PBC中，NHBC，且NHBC1，AMAD1.又ADBC，所以NHAM且NHAM，所以四边形AMNH为平行四边形，所以MNAH，又AH平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解：连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD2
5、，AC2，所以SPACPAAC4，所以SAMCAMCD，由VMPACVPAMC，得SPAChSAMCPA，即4h4，所以h，所以点M到平面PAN的距离为.KS5UKS5U题目5(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)的左焦点F1与抛物线y24x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M(m，0)作斜率存在且不为0的直线l，交椭圆E于A、C两点，点P，且为定值(导学号 55410159)(1)求椭圆E的方程；(2)求m的值解：(1)因为y24x的焦点为(1，0)，所以c1.KS5UKS5U又因为e，所以a，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)由题意，k存在且不为零，设直线l方程为yk(xm)，A
6、(x1，y1)，C(x2，y2)由消y，得(12k2)x24mk2x2k2m220，所以x1x2，x1x2.y1y2k2(x1m)(x2m)(1k2)x1x2(x1x2)k2m2.因为为定值，所以3m25m24，即3m25m20，所以m11，m2，此时点M(m，0)在椭圆E内部，故m的值为1或.题目6(本小题满分12分)设f(x)ln x，g(x)x|x|.(1)求g(x)在x1处的切线方程；(2)令F(x)xf(x)g(x)，求F(x)的单调区间；(3)若任意x1，x21，)且x1x2，都有mg(x1)g(x2)x1f(x1)x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)x0时，g(x)
7、x2，g(x)x，故g(1)，g(1)1，故切线方程是y(x1)，即xy0.(2)F(x)xln xx|x|xln xx2 (x0)，F(x)ln xx1，令t(x)F(x)ln xx1，则t(x)1.令t(x)0，解得0x1，令g(x)0，解得x1，故F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，故F(x)F(1)0，故F(x)在(0，)上单调递减；(3)已知可转化为x1x21时，mg(x1)x1f(x1)mg(x2)x2f(x2)恒成立令h(x)mg(x)xf(x) x2xln x，则h(x)为单调递增的函数，故h(x)mxln x10恒成立，即m恒成立，令H(x)，则H(x)，所
8、以当x1，)时，H(x)0，H(x)单调递减，H(x)H(1)1，故m1，实数m的取值范围是1，)题目7请在下面两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分1(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面4cos的公共点，求xy的取值范围解：(1)因为圆C的极坐标方程为4cos，所以24所以圆C的直角坐标方程x2y22x2y0.(2)由圆C的方程x2y22x2y0，得(x)2(y1)24，KS5UKS5U所以圆C的圆心是(，1)，半径是2，将，代入xy，得4t，又直线l过C(，1)，圆C的半径是2，所以2t2，故xy的取值范围是2，62(本小题满分10分)设函数f(x)|2xa|，g(x)x2.(1)当a1时，求不等式f(x)f(x)g(x)的解集；(2)求证：f，f，f中至少有一个不小于.(1)解：当a1时，|2x1|2x1|x2，无解；解得0x；解得x.综上可知，不等式的解集为.(2)证明：(反证法)假设f，f，f都小于，则前两式相加得a与第三式a矛盾因此假设不成立，故f，f，f中至少有一个不小于.