1、对数函数单调性应用例析山东 刘乃东 我们知道，对数函数，且当时，在上为增函数；当时，在上为减函数。对数函数的单调性，在比较大小方面的题目时具有特殊功效。 例1 比较下列各组数中两个值的大小： （1）与； （2）与（，）。 分析：对于底数相同的两个对数值比较大小，可由对数函数的单调性确定。 解析：（1）考察函数，因为它的底数，所以它在上为增函数，所以。 （2）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未指明底数与1哪个大，因此，需对底数进行讨论。 当时，函数在上为增函数，于是； 当时，函数在上为减函数，于是。 评注：本题是利用对数函数的单调性比较两个对数的大小的，对底数与
2、1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。 例2 若实数满足，求的取值范围。 分析：需对进行分类讨论。 当时，； 当时，即。 故。 评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。理解会用以下几个结论很有必要：当时，若，则，若，则；当时，若，则，若，则。 例3 函数在时有最小值1，试确定、的值。 分析：解答本题需运用配方法确定函数的最值。 解析：， 在时有最小值。又时，有最小值1，解得，。 评注：将求指数函数、对数函数的最大值、最小值问题，转化为求二次函数的最大值、最小值，是解决这种问题的一个基本方法。
