1、2.2 基本不等式同步卷一、单选题 1已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（）ABCD32若，且，则下列不等式一定成立的是（）ABCD3设，其中、是正实数，且，则与的大小关系是（）ABCD4设，下列不等式正确的是（）ABCD5已知，给出以下不等式：；，则其中正确的个数为（）A0B1C2D36已知，则的最大值为（）A2B4C5D67当时，函数的最小值为（）ABCD48若实数满足：，则的最小值为（）A1B2C3D49若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（）A2B4C6D810函数的值域（）ABCD11设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为
2、，则车厢的最大容积是（）A（383 m3B16 m3C4 m3D14 m312若，且，则下列不等式恒成立的是（）ABCD二、填空题13若正数满足，则的最大值为_14若实数，满足，则的取值范围为_15已知，则与的比较_16实数满足，则的最大值为_.17当时，函数的最小值为_18已知正实数a，b，满足，则的最大值为_19已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围_20当时，的最大值为 _三、解答题 21已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)22若正数，满足(1)求的最大值；(2)求的最小值23若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围24已知，且.(1)若恒成立，求的取值范围；(2
3、)证明：.25已知函数.(1)当，求函数的值域；(2)当时，是否存在实数a，使的图象都在函数的图象的下方？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.1C【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值故选：C2C【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误，对于B，若，则满足，且，而，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，对于D，若，则满足，且，而，所以D错误，故选：C3B【详解】因为、是正实数，且，则，因此，.故选：B.4D【详解】对于A，由均值不等式，当且仅当，即时取“”，A错误；对于B，所以，B错误；对于C，C
4、错误；对于D，由，得，当且仅当时，取“”，D正确.故选：D5B【详解】对于：因为，所以，所以，即.故正确；对于：取满足，但是，所以不一定成立.故错误；对于：取满足，但是，此时，所以不一定成立.故错误.故选：B6A【详解】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2故选：A7B【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立故选：B8A【详解】因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.9B【详解】解：根据，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4故选
5、：B10D【详解】解：令，所以，因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，所以所以，故选：D11B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，即，解得，车厢的容积为当且仅当且，即时等号成立车厢容积的最大值为选B12D【详解】由，且，可得，当且仅当时，等号成立，对于A中，由，所以A错误；对于B中，所以B错误；对于C中，由，可得，所以C错误；对于D中，所以，所以，所以D正确.故选：D.13【详解】正数满足，解得，当且仅当时，即等号成立，的最大值为故答案为：14【详解】由于，(当且仅当时取等号)，又，所以，故，即的取值范围为.故答案为：15【详解】因为，可得，且，当且仅当时，等号成立，所以，可得
6、，所以.故答案为：16【详解】因为实数满足，所以由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立），所以.即的最大值为.故答案为：.17【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.18【详解】解：因为正实数，满足，则，因为，所以，当且仅当时取等号，令，则原式，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，故答案为：.19【详解】因为，且，所以，当且仅当时等号成立，又不等式恒成立，所以，即，解得故答案为：.20或0.75【详解】当时，当且仅当x，即x2时等号成立.即的最大值为故答案为：21(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证
7、得结论，（2）利用可证得，同理可得，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边，当且仅当时取“”故（2）证明：因为，当且仅当时取“”，所以，所以，所以，同理，当且仅当时取取“”，当且仅当时取“”+，得，当且仅当时等号成立22(1)(2)【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以当，时，（2），当且仅当时等号成立，当，时，23【详解】令当时，当时，当且仅当时等号成立或即或或或综合得因为不等式恒成立，则.24(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）先通过基本不等式求出的最小值，进而解出不等式即可；（2）先进行变形，然后通过基本不等式证得答案.（1）已知，且.则，当且仅当时，取到最小值，所以，即，解得.（2），当且仅当，即时，等号成立.所以.25(1)(2)存在，【分析】（1）对x分类讨论，利用基本不等式法求最值，即可得到值域；（2）假设存在a符合题意，利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围.(1)当，函数的定义域为R.若，则y=0；若，函数，所以；若，则，函数，所以，即；综上所述：，即函数的值域为(2)假设存在实数a符合题意，即对任意实数，都有恒成立，即对任意实数，因为在时，所以，即存在实数满足题意.