1、8.2直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线与方程一般地,如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上,则称F(x,y)=0为直线l的方程,而直线l称为方程F(x,y)=0的直线.2.直线方程的5种形式名称几何条件方程适用条件点斜式点P(x0,y0)和不含垂直于x轴的直线斜截式直线在y轴上的截距b、斜率k不含垂直于x轴的直线两点式过两点(x1,y1),(x2,y2)不含垂直于坐标轴的直线截距式直线在y轴上的截距b、直线在x轴上的截距a不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)平面内所有直线3.两条直线相交
2、、平行与重合的条件(1)几何方法判断设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1与l2相交;l1l2;l1与l2重合.(2)向量方法判断设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是;l1与l2平行或重合的充要条件是;l1与l2重合的充要条件是,存在实数,使得A1=A2,B1=B2,C1=C2.4.两条直线的垂直(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则l1l2.(2)设直线l1,l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0(A1,B1不同时为零,A2,B2不同时为
3、零),则l1l2.5.两种距离类型条件距离公式点到直线的距离点P0(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0d=两平行直线之间的距离平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0d=1.六种常见的对称点(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x
4、,2b-y).(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).2.三种直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)平行的直线系方程为Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线系方程为Bx-Ay+n=0(nR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画
5、“”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.()(2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B120),l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()2.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为()A.3B.4C.5D.73.(多选)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中aR,下列
6、说法正确的是()A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0C.直线l过定点(0,1)D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等4.过点P(2,-3),倾斜角为45的直线方程为.5.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.关键能力学案突破考点求直线的方程【例1】求适合下列条件的直线方程:(1)求经过点(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍;(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解题心得1.求解直线方程的两种方法直接法根据已知
7、条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程待定系数法设所求直线方程的某种形式;根据条件建立所求参数的方程(组);解这个方程(组)求出参数;把参数的值代入所设直线方程2.谨防三种失误(1)应用点斜式方程和斜截式方程时,要注意讨论斜率是否存在.(2)应用截距式方程时,要注意讨论直线是否过原点,即截距是否为0.(3)应用一般式Ax+By+C=0(A2+B20)确定直线的斜率时,注意讨论B是否为0.对点训练1求适合下列条件的直线方程:(1)过点P(2,3),且在两坐标轴上的截距互为相反数;(2)过点A(2,-3),且倾斜角等于直线x-3y=0的倾斜角的2倍;(3)直线过点(-3,4),且在两坐标轴
8、上的截距之和为12.考点直线方程的综合应用【例2】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,求AOB的面积的最小值及此时直线l的方程.解题心得求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用函数的单调性或均值不等式求解.变式发散(1)若本例条件不变,求|OA|+|OB|的最小值及此时l的方程.(2)若本例条件不变,求PAPB的最大值及此时直线l的方程.考点两直线的位置关系(多考向探究)考向1判断两直线的位置关系【例3】(2020天津静海区联考)“a=1”是“直线ax+2y-8=0与直线x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充要条件B.充
9、分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考向2由两直线的位置关系求参数【例4】(1)(2020安徽芜湖四校联考)若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为()A.1B.0C.2D.-1或0(2)(2020陕西宝鸡中学二模)若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx+2y+4=0平行,则实数m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-32考向3由两直线的位置关系求直线方程【例5】经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程为.解题心得利用直线方程的一般式判断两直线的平行或垂直时可避免讨论直线斜率
10、不存在的情况,但要注意由A1B2-A2B1=0不能推出两直线平行.根据两直线平行求参数时,要注意检验求得的参数值是否满足题意.对点训练2(1)求满足下列条件的直线方程.过点P(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0;已知A(1,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.(2)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.当l1l2时,求a的值;当l1l2时,求a的值.考点与距离有关的问题【例6】(1)(2020广东广州模拟)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为.(2)(2020福建厦门模拟)若两平行直线3x-2y-1=0,6x
11、+ay+c=0之间的距离为21313,则c的值是.解题心得利用距离公式应注意(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.对点训练3(1)已知A(2,0),B(0,2),若点C在函数y=x2的图像上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.4B.3C.2D.1(2)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为.考点对称问题(多考向探究)考向1点关于点的对称【例7】过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和
12、l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.考向2点关于线的对称【例8】如图,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上,再经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.210B.6C.33D.25考向3线关于线的对称【例9】直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0解题心得1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x0,y0)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得x=2a-x
13、0,y=2b-y0,进而求解.(2)直线关于点对称:先在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式得到所求直线方程.先在已知直线上取一点,求出它关于已知点的对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.2.轴对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于直线对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A2+B20)对称,则由方程组Ax1+x22+By1+y22+C=0,B(x2-x1)-A(y2-y1)=0,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标.(2)直线关于直线对称:一般转化为点关于直线的对称来解决.对点训练4(1)已知直线l1:2x+y+2=0与l2:4x+by+c=0关于点P(1,0)对称,则b+c=.(2)设光线l从点A(-4,3)出发,经x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的坐标为,若该光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为.(3)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求点A关于直线l的对称点A的坐标;求直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m的方程;求直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l的方程.