1、第十一章 计数原理-2-11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-4-知识梳理 双基自测 211.两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有 .在第1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2种不同的方法在第 n 类方案中有 mn种不同的方法 完成一件事需要 ,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法做第 n 步有mn 种不同的方法 结论 完成这件事共有N=m1+m2+mn 种方法 完成这件事共有N=m1m2mn 种方法 n类不同的方案 n个步骤-5-知识梳理 双基自测 212.两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理
2、 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 缺一不可 2-6-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才算完成.()(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(
3、)(5)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,n),那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法.()答案 答案 关闭(1)(2)(3)(4)(5)-7-知识梳理 双基自测 234152.在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()A.45个B.36个C.30个D.50个 答案 解析 解析 关闭个位数字为 2 的有 1 个,个位数字为 3 的有 2 个个位数字为 9 的有 8 个,由分类加法计数原理知,共1+2+3+4+8=8(1+8)2=36 个.答案 解析 关闭B-8-知识梳理 双基自测 234153.(2016全国甲卷,理5)如图,小
4、明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18C.12 D.9 答案 解析 解析 关闭由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为63=18,故选B.答案 解析 关闭B-9-知识梳理 双基自测 234154.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,演出开始前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入原节目单中,那么不同插法的种类为()A.42 B.30C.20 D.12 答案 解析 解析 关闭在已排好的5个节目产生
5、的6个空档中,第一个节目有6种排法,在6个节目产生的7个空档中,第二个节目有7种排法,共67=42种.答案 解析 关闭A-10-知识梳理 双基自测 234155.一个乒乓球队里有男队员5名,女队员4名,从中选取男、女队员各一名组成混合双打,共有 种不同的选法.答案 解析 解析 关闭先选男队员,有5种选法,再选女队员,有4种选法,由分步乘法计数原理知共有54=20种不同的选法 答案 解析 关闭20-11-考点1 考点2 考点3 考点 1 分类加法计数原理 例 1(1)设集合 A=1,2,3,4,m,nA,则关于 x,y 的方程2+2=1 表示焦点位于x轴上的椭圆有()A.6个 B.8个 C.12
6、个D.16个(2)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14 B.13C.12 D.9 思考使用分类加法计数原理遵循的原则是什么?答案 答案 关闭(1)A(2)B-12-考点1 考点2 考点3 解析:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1.故满足条件的椭圆共有3+2+1=6个.(2)由于a,b-1,0,1,2,则 当a0时,方程有实根,=4-4ab0.ab1.(*)()当a=-1时,满足(*)式的b=-1,0,1,2,有4种;()当a=1时,满足(*)式的b=-
7、1,0,1,有3种;()当a=2时,满足(*)式的b=-1,0,有2种.故由分类加法计数原理,满足条件的有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.当 a=0 时,有 x=-2为方程的实根,则 b=-1,0,1,2,有 4 种;-13-考点1 考点2 考点3 解题心得使用分类加法计数原理遵循的原则:分类的划分标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.-14-考点1 考点2 考点3 对点训练1(1)把甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位
8、前面,不同的安排方案共有()A.20种B.30种 C.40种D.60种(2)如图,从A到O有 种不同的走法(不重复过一点).答案 答案 关闭(1)A(2)5-15-考点1 考点2 考点3(2)分三类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有ABO和ACO 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有ABCO和ACBO 2种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.解析:(1)可将安排方案分为三类:甲排在周一,共有A42种排法;甲排在周二,共有A32种排法;甲排在周三,共有A22种排法,故不同的安排方案共有A42+A32+A22=20 种.故选 A.-16-
9、考点1 考点2 考点3 考点 2 分步乘法计数原理 例2(1)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为()A.56 B.54C.53 D.52(2)从集合1,2,3,4,10中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集个数为()A.32 B.34C.36 D.38 思考应用分步乘法计数原理解决问题时如何分步?对分步有何要求?答案 答案 关闭(1)D(2)A-17-考点1 考点2 考点3 解析:(1)在8个数中任取2个不同的数共有87=56个对数值;但在这56个对数值中,log24=lo
10、g39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,即满足条件的对数值共有56-4=52个.(2)把集合中的数字分成5组:1,10,2,9,3,8,4,7,5,6.因为选出的5个数,任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数字即可,故共可组成22222=32个这样的子集.-18-考点1 考点2 考点3 解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.-19-考点1 考点2 考点3 对点训练2(1)(2016河南驻马店期末)有5盆菊花,
11、其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是()A.12 B.24 C.36D.48(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100 m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.答案 答案 关闭(1)B(2)2 880-20-考点1 考点2 考点3 解析:(1)由题意,第一步将2盆黄菊花捆绑在一起,有2种方法,第二步将捆绑在一起的黄菊花看作一个整体,与红菊花摆放有2种方法,第三步将2盆白菊花插入三个空中,有32=6种方法,故不同的摆放
12、种数为226=24,故选B.(2)分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有432=24种.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有54321=120种.故安排这8人的方式共有24120=2 880种.-21-考点1 考点2 考点3 考点 3 两个计数原理的综合应用 例3(1)(2016山西阳泉高三模拟)山西阳泉某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有()A.36
13、种B.38种C.108种D.114种(2)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .思考应用两个计数原理解决计数问题时的一般思路是怎样的?-22-考点1 考点2 考点3 答案：(1)A(2)96 解析:(1)由题意可得,有2类分配方案,第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选一人,有3种情况.故共有323=18种分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选2个人,有3种
14、情况,故共323=18种分配方案.由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种,故选A.-23-考点1 考点2 考点3(2)按区域 1 与 3 是否同色分类:区域 1 与 3 同色;先涂区域 1 与 3,有 4 种方法,再涂区域2,4,5(还有 3 种颜色),有A33种方法.故区域 1 与 3 涂同色,共有 4A33=24 种方法.区域 1 与 3 不同色:先涂区域 1 与 3,有A42种方法,第二步涂区域 2,有 2 种涂色方法,第三步涂区域 4,只有 1 种方法,第四步涂区域 5,有 3 种方法.故共有A42 213=72 种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为 24+
15、72=96.-24-考点1 考点2 考点3 解题心得在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.-25-考点1 考点2 考点3 对点训练3(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48 B.18 C.24D.36(2)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有 种不同的涂色方法.答案 答案
16、 关闭(1)D(2)260-26-考点1 考点2 考点3 解析:(1)第一类,对于每一条棱,都可以与两个面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有212=24个;第二类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36个.(2)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分为两类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.故共有544+5433=260种涂色方法.-27-思想方法分类讨论在计数原理中的应用 对于计数问题,分类讨
17、论的数学思想贯穿始终.正确的分类一般是解决问题的切入点,考虑这个问题有几种情况,即分类;考虑每种情况有几个步骤,即分步.同时注意分类的全面与到位,不要出现重复或遗漏的现象.-28-典例椭圆2+2=1 的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 .答案20 解析以m的值为标准分类,分为五类:第一类:当m=1时,使nm的n有6种选择;第二类:当m=2时,使nm的n有5种选择;第三类:当m=3时,使nm的n有4种选择;第四类:当m=4时,使nm的n有3种选择;第五类:当m=5时,使nm的n有2种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有20个.