1、金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）1直线的倾斜角为，则的值是_.2若实数满足不等式组，则的最大值为 .3设复数满足，则 .4已知直线与圆相切，则的值为_ _.5已知方程表示椭圆，则的取值范围为_ _.6若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为_.7过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为_.8已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_. 9若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，
2、则的取值范围为_.10双曲线的焦点为F1、F2，P在双曲线上 ，且满足：，则的面积是 .11若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 .12已知点在直线上，点在直线上，PQ的中点为，且,则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）13设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ ）（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件14与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）（A） （B） （C） （D）15设曲线C的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C上到直线 的距离为的点的个数为（ ）（A）1
3、（B） 2 （C）3 （D） 416. 已知曲线：（），下列叙述中正确的是（ ）（A）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点（B）直线（）与曲线最多有三个交点（C）曲线关于直线对称（D）若为曲线上任意两点，则有三、解答题（本大题满分52分）17（本题满分6分）求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.18（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设是方程的一个根（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.19（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点.(1
4、) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.20（本题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上
5、），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明.金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）1直线的倾斜角为，则的值是_32若实数满足不等式组，则的最大值为 63设复数满足，则 4已知直线与圆相切，则的值为_或-185已知方程表示椭圆，则的取值范围为_6若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为_或7过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，
6、则实数的值为_8已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_9若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为_10双曲线的焦点为F1、F2，P在双曲线上 ，且满足：，则的面积是 111若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 12已知点在直线上，点在直线上，PQ的中点为，且,则的取值范围是 。二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）13设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ B ）（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件14与双曲线有共同的渐近线
7、，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ B ）（A） （B） （C） （B）15设曲线C的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C上到直线 的距离为的点的个数为 ( B )（A）1 （B） 2 （C）3 （D） 416. 已知曲线：（），下列叙述中正确的是 ( B )（A）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点（B）直线（）与曲线最多有三个交点（C）曲线关于直线对称（D）若为曲线上任意两点，则有三、解答题（52分）17.（6分）求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程。解：抛物线的焦点F(1,0) 2分因为圆过原点，所以半径R=1 4分所以所求的圆的标准方程为 6分18.（10分）设是方
8、程的一个根（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求解 （1） 因为，所以或 4分（2）由，得， 8分当时，； 10分当时， 19.（10分）如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点.(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值。解：(1)解方程组得 A(-4,-2),B(8,4).从而AB的中点为M(2,1).直线AB的垂直平分线方程为令y=-5,得x=5.Q(5,-5). 4分(2)直线OQ的方程为设.点P到直线OQ的距离当x=8时,OPQ的面积取到最大值3
9、0. 10分20.（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：以海滨城市o为坐标原点，正东方向为x轴的正向建立直角坐标系，设台风中心则 4分 台风侵袭的区域是 8分将（0，0）点代人得： 解得 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭 12分21.（14分）椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比。（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点
10、的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明。解：（1）设所求的椭圆方程为，则有解得所要求的椭圆方程为 4分（2）当射线与y轴重合时，当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形设其方程为y=kx（k0，x0），设A（x1，y1），B（x2，y2）由解得 所以由解得 所以+令， 在上是增函数，即由知，的最大值为，的最小值为 10分（3）本题根据学生提出和解决问题的质量评分 14分10