1、黑龙江省实验中学2021届高三数学下学期第四次模拟考试试题 文考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1设全集，集合，则（ ）ABCD2已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3函数的图象可能是（ ） A B C D4已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则的离心率为（ ）ABCD5. 已知函数的图象在点的切线方程为，则（ ）ABCD6. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如下面茎叶图所示.以下结论正
2、确的是（ ）A乙成绩的极差比甲成绩的极差小 B甲成绩的众数比乙成绩的中位数大C乙成绩的方差比甲成绩的方差小 D甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小7已知，若是第二象限角，则（ ）ABCD8某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是（ ）A B C D9“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和
3、星期天一样多，则该月3日可能是星期（ ）A一或三 B二或三 C二或五 D四或六10将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的周期是C的图像关于直线对称D的图像关于点对称11已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）ABCD12已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：若点在线段上运动，则始终有；若是棱中点，则直线与是相交直线；若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；为中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为以上命题为真命题的个数为（ ）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13若，满足约束条件，则的最大值为_14在中，是中点，则_15已知双曲
4、线右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为_16在锐角中，内角A，B所对的边分别为a，b，若，则_；边长a的取值范围是_.三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22，23题为选考题，根据要求作答）（一）必考题：每题12分，共60分17已知数列的前项和为，满足，且（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和为182021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄现对某市工薪阶层关于
5、延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表月收入（单位百元）频数510151055赞成人数123534（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成不赞成合计（2）若采用分层抽样从月收入在和的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在的概率（参考公式：，其中）0.0500.0100.0013.8416.63510.82819已知点是平面直角坐标系中异
6、于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点，, 过点的直线交轨迹于（位于第一象限）两点，若，求直线的方程.20如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，, （1）求证：平面；（2）求多面体的体积21已知，.（1）讨论单调性；（2）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请在22，23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.22【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普
7、通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线交于，两点，求23【选修4-5：不等式选讲】已知正数，满足（1）求证：；（2）求证：. 第I卷（选择题）1. C 2. D 3B 4B 5. A6. D 7. B 8A 9B 10D11.C 12.B 13414215164 三、解答题17 解（1）由可知数列是公比为2的等比数列，所以又因为，所以，所以所以数列的通项公式为（2）由（1）知，所以.18. 解：（1）22列联表如下：月收入高于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成71118不赞成32932合计104050，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟
8、退休政策的态度有差异（2）按照分层抽样方法可知，月收入在的抽4人，记为，月收入在的抽2人，记为，则从6人中任取3人的所有情况为：、，共20种，其中至少有一人月收入在的情况有16种，所以3人中至少有1人月收入在的概率为19. 解：（1）设，则，点的轨迹方程（2），设直线，. ，得，解得 位于第一象限，直线20.（1）四边形是菱形，又面,面，面,同理得，面，面，且，面面，又面，平面；（2），在菱形中，面面，取的中点，连接，面，面，由（1）知，面面， 点到面的距离为，又点到面的距离为，连接，则.21.解：（1），所以当时，有恒成立，在单调递增，当时，由解得：，在上单调递增；由解得：，在上单调递减； （2）当时，根据题意，不等式等价于，对于，所以在上单增，所以，则有，设，则，在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是.22.解：（1），又，所以得，根据得，所以曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为；（2）设，点A，B所对应的参数为，则的参数方程为（t为参数） ，代入得，于是23.解：（1）证明：因为，所以，即（当且仅当等号成立）（2）因为，故，又因为，所以，故（当且仅当，等号成立）