1、3.2全集与补集内容标准学科素养1.理解全集、补集的含义，会求给定集合的补集2.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题3.能借助Venn图，利用集合运算的定义解决有关的实际应用问题.加强数学运算熟练数形结合精确数学概念授课提示：对应学生用书第11页基础认识知识点一全集 (正确的打“”，错误的打“”)(1)全集一定是实数集R.()(2)全集一定包含所有元素()提示：(1)(2)(1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.(2)全集并不是一个包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同，全集
2、也不尽相同知识梳理全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集(2)符号表示：全集通常记作U.知识点二补集(1)若BUA，则()AAB BBA CAU DAB(2)已知UR，集合Ax|x2或x2，则UA()Ax|2x2 Bx|x2或x2Cx|2x2 Dx|x2或x2提示：(1)C(2)C知识梳理补集(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即AU)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)(2)符号表示：集合A相对于全集U的补集记作UA，即UAx|xU，且xA(3)图示：用Venn图表示UA，如图所示：知识点三补集的
3、性质设集合A1,2，那么相对于集合M0,1,2,3和N1,2,3，MA和NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识提示：MA0,3，NA3，MANA.由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同知识梳理补集的性质(1)A(UA)U；(2)A(UA)；(3)UU，UU，U(UA)A；(4)(UA)(UB)U(AB)；(5)(UA)(UB)U(AB)思考：1.全集就是实数集R吗？提示：不一定全集的定义指出“全集包含研究问题中所涉及的所有元素”，但我们研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等
4、2理解补集的定义应注意些什么？提示：(1)补集是相对于全集U的一个子集而言的如果全集U不存在了，其补集便无从谈起(2)UA包含五层含义：AU；UAU；UA中的元素x满足xU，但xA；A(UA)；A(UA)U. 自我检测1已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合A1,3,5,6，则UA()A1,3,5,6 B2,3,7C2,4,7 D2,5,7解析：由补集的定义，集合A在U中的补集指U中除A外其他元素构成的集合故选C.答案：C2已知全集UR，Ax|x2，则UA等于()Ax|x2 Bx|x2Cx|x2 Dx|x2解析：全集为R，Ax|x2，UAx|x2答案：C3已知全集U0,1,2，且UA2，则
5、A_.解析：由Venn图可知A0,1答案：0,1授课提示：对应学生用书第11页探究一补集的运算例1(1)已知全集U，集合A1,3,5,7，UA2,4,6，UB1,4,6，则集合B_；(2)已知全集Ux|x5，集合Ax|3x5，则UA_.思路点拨(1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求集合B，也可借助Venn图求解(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解解析(1)法一：A1,3,5,7，UA2,4,6，U1,2,3,4,5,6,7又UB1,4,6，B2,3,5,7法二：借助Venn图，如图所示由图可知B2,3,5,7(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示由补集定
6、义可得UAx|x3，或x5答案(1)2,3,5,7(2)x|x3，或x5延伸探究若把第(2)题的条件“Ux|x5”换成“Ux|6x6”，其他条件不变，求UA.解析：Ux|6x6，Ax|3x5，UAx|6x3，或5x6方法技巧1.补集符号UA的三层含义：(1)UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即AU；(3)UA是U中不属于A的所有元素组成的集合2求补集的方法：求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集常借助Venn图或数轴求解探究二补集的应用例2已知集合Ax|xa，Bx|1x2，且ARBR，则实数a的取值范围是_解析Bx
7、|1x2，RBx|x1，或x2，又Ax|xa，且ARBR，利用如图所示的数轴可得a2.答案a2延伸探究将本例中的条件“ARBR”改为“ARB”，其他条件不变，则实数a的取值范围是_解析：Bx|1x2，RBx|x1，或x2，又Ax|xa，且ARB，利用如图所示的数轴可得a1.答案：a1方法技巧已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注意端点值的“取”与“舍”跟踪探究1.设全集U(3,6，m2m1)，A|32m|,6，UA5，求实数m.解析：因为UA5，所以5U但5A，所以m2m15，解得m3或m2.当m3时，|3
8、2m|35，此时U3,5,6，A3,6，满足UA5；当m2时，|32m|75，此时U3,5,6，A6,7，不符合题意舍去综上可知m3.探究三交集、并集、补集的综合运算例3设Ax|2x2ax20，Bx|x23x2a0，AB2(1)求a的值及A，B；(2)设全集UAB，求(UA)(UB)；(3)写出(UA)(UB)的所有子集思路点拨(1)由AB22A且2B解出a及A，B.(2)利用集合的运算求(UA)(UB)进而求出所有子集解析(1)AB2，2A，且2B.82a20，即a5.Ax|2x25x20，Bx|x23x1005,2(2)由(1)可知UUA5，UB.(UA)(UB).(3)由(2)可知(UA
9、)(UB)的所有子集为5，.延伸探究在题设(2)不变的情况下，计算U(AB)及(UA)(UB)解析：AB2，U，U(AB).又UA5，UB.(UA)(UB).方法技巧交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解，在解答过程中也常常借助于Venn图，这样处理问题，相对来说比较直观、形象，且不易出错(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交集、并集、补集的定义求解，这样处理比较形象、直观，解答过程中注意端点值问题跟踪探究2.已知全集Ux|5x3，Ax|5x1，Bx|1x1，求UA，
10、UB，(UA)(UB)解析：将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则UAx|1x3；UBx|5x1，或1x3方法一：(UA)(UB)x|1x3方法二：ABx|5x1，(UA)(UB)U(AB)x|1x3.授课提示：对应学生用书第12页课后小结1补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想(3)从符号角度来看，若xU，AU，则xA和xUA二者必居其一求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可
11、以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示2与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形3不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集素养培优因对补集的概念认识不到位而致误易错案例：设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求实数a的值易错分析：准确理解补集的概念是求解此类问题的关键实际上UA的数学意义包括两个方面，首先必须具备AU，其次是定义UAx|xU，且xA因此本题应先由5U求出a的值，再利用AU验证a的值是否符合题意考查概念把握的学科素养和数学运算的基本能力自我纠正：UA5，5U，且5A.a22a35，且|2a1|5，解得a2或a4.当a2时，|2a1|3，A2,3，符合题意；而当a4时，A9,2，不是U的子集实数a的值是2.