1、3.3 三角函数的积化和差与和差化积学习目标 1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程.2.理解在推导积化和差、和差化积公式中方程思想、换元思想所起的作用知识链接 两角和与差的正弦、余弦公式是推导积化和差与和差化积公式的基础：sin()sin_cos_cos_sin_；sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_.预习导引 积化和差公式与和差化积公式(不要求记忆)积化和差公式 sin cos 12sin()sin()cos sin 12sin()sin()cos cos 12
2、cos()cos()sin sin 12cos()cos()和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2sin sin 2cos 2 sin 2cos cos 2cos 2 cos 2cos cos 2sin 2 sin 2要点一 利用积化和差与和差化积公式化简求值例 1 求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.解 sin 20cos 70sin 10sin 5012(sin 90sin 50)12(cos 60cos 40)1412sin 5012cos 401412sin 5012sin 5014.规律方法 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函
3、数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来跟踪演练 1 求值：cos 10cos 30cos 50cos 70.解 原式 32 12(cos 60cos 40)cos 70 38 cos 70 34 cos 40cos 70 38 cos 70 34 12(cos 110cos 30)38 cos 70 38 cos 110 38 cos 30 38 32 316.要点二 积化和差与和差化积公式的应用例 2 已知 ABC，求证：sin Asin Bsin C4sinA2sinB2cosC2.证明 左边
4、sin(BC)2sinBC2cosBC22sinBC2cosBC22sinBC2cosBC22cosBC2 sinBC2sinBC22cos A2 2sinB2cosC24sinA2sinB2cosC2右边原式成立规律方法 在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系跟踪演练 2 求证：tan 3x2 tan x22sin xcos xcos 2x.证明 方法一 tan 3x2 tan x2sin3x2cos3x2sinx2cosx2sin3x2 cosx2cos3x2 sinx2cos3x2 cosx2sin3x2 x2cos3x2 cosx2sin xco
5、s3x2 cosx22sin xcos3x2 x2 cos3x2 x22sin xcos xcos 2x.原式成立方法二 2sin xcos xcos 2x2sin3x2 x2cos3x2 x2 cos3x2 x22sin3x2 cosx2cos3x2 sinx22cos3x2 cosx2sin3x2cos3x2sinx2cosx2tan 3x2 tan x2.原式成立要点三 三角恒等变换的实际应用例 3 点 P 在直径 AB1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT1，PAB，问 为何值时，四边形 ABTP 面积最大？解 如图所示，AB 为直径，APB2，又 AB1，PAcos，P
6、Bsin.又 PT 切圆于 P 点，TPBPAB，S 四边形 ABTPSPABSTPB12PAPB12PTPBsin 12sin cos 12sin214sin 214(1cos 2)14(sin 2cos 2)14 24 sin24 14.02，42434，当 242，即 38 时，S 四边形 ABTP 最大规律方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解，在求解过程中，要注意角的范围跟踪演练 3 某工人要从一块圆心角为 45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)
7、解 连接 OC，设COB，则 045，OC1.ABOBOAcos ADcos sin，S 矩形 ABCDABBC(cos sin)sin sin2sin cos 12(1cos 2)12sin 212(sin 2cos 2)12 22 cos(245)12.当 2450，即 22.5时，Smax 212(m2)割出的长方形桌面的最大面积为 212m2.1下列等式错误的是()Asin(AB)sin(AB)2sin Acos BBsin(AB)sin(AB)2cos Asin BCcos(AB)cos(AB)2cos Acos BDcos(AB)cos(AB)2sin Acos B答案 D解析 由
8、两角和与差的正弦、余弦公式展开左边可知 A、B、C 正确2sin 15cos 165的值是()A.14B.12C14D12答案 C解析 sin 15cos 165sin 15cos(18015)sin 15cos 1512sin 3014，故选 C.3sin 105sin 15等于()A.32B.22C.62D.64答案 C解析 sin 105sin 152sin105152cos1051522sin 60cos 45 62.4在ABC 中，若 B30，求 cos Asin C 的取值范围解 由题意得cos Asin C12sin(AC)sin(AC)12sin(B)sin(AC)1412si
9、n(AC)1sin(AC)1，141412sin(AC)34，cos Asin C 的取值范围是14，34.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住 cos()即可2和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系一、基础达标1sin 70cos 20sin 10sin 50的值为()A.34B.32C.12D.34答案 A解析 sin 70cos 20sin 10sin 5012(sin 90sin 50)12(cos 60cos 40)1212sin 501
10、412cos 4034.2cos 72cos 36的值为()A32 3B.12C12D32 3答案 C解析 原式2sin72362sin723622sin 54sin 182cos 36cos 722sin 36cos 36cos 72sin 36sin 72cos 72sin 36sin 1442sin 3612.3在ABC 中，若 sin Asin Bcos2C2，则ABC 是()A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三角形答案 B解析 由已知等式得12cos(AB)cos(AB)12(1cos C)，又 ABC.所以 cos(AB)cos(C)1cos C.所以 cos(AB)1，
11、又AB，所以 AB0，所以 AB，故ABC 为等腰三角形4函数 ysinx6 cos x 的最大值为()A.12B.14C1D.22答案 B解析 ysinx6 cos x12sinx6x sinx6x12sin2x6 12 12sin2x6 14.ymax121414.5cos275cos215cos 75cos 15的值等于_答案 54解析 ysin215cos215cos 75cos 15112(cos 90cos 60)54.6已知 23，且 cos cos 13，则 cos()等于_答案 79解析 cos cos 2cos2 cos22cos3cos2 cos2 13，cos()2co
12、s22 1219179.7已知函数 f(x)4cos xsinx6 1.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)当 x6，4 时，求函数 f(x)的值域解(1)f(x)4cos xsinx6 14cos x 32 sin x12cos x12 3sin xcos x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin2x6，令 2k22x62k32，kZ，解得：k6xk23，kZ，则 f(x)的单调递减区间为k6，k23，kZ.(2)x6，4，2x66，23，sin2x6 12，1，则 f(x)的值域为1,2二、能力提升8若 cos()cos()13，则 cos2sin2 等于()A23B1
13、3C.13D.23答案 C解析 cos()cos()12(cos 2cos 2)12(2cos21)(12sin2)cos2sin2，cos2sin213.9函数 ysinx3 sin xx0，2的值域是()A2,2B.12，32C.12，1D.12，32答案 B解析 ysinx3 sin x2cosx6 sin6cosx6.x0，2，6x623，y12，32.10函数 ycosx3 cosx23 的最大值是_答案 34解析 y12cos2xcos312cos 2xcos3 1412cos 2x，因为1cos 2x1，所以 ymax34.11化简下列各式：(1)cos Acos120Bcos1
14、20Bsin Bsin120Asin120A；(2)sin A2sin 3Asin 5Asin 3A2sin 5Asin 7A.解(1)原式cos A2cos 120cos Bsin B2cos 120sin Acos Acos Bsin Bsin A 2sinAB2sinBA22cosAB2sinBA2tanAB2.(2)原式 sin Asin 5A2sin 3Asin 3Asin 7A2sin 5A2sin 3Acos 2A2sin 3A2sin 5Acos 2A2sin 5A2sin 3Acos 2A12sin 5Acos 2A1sin 3Asin 5A.12已知 f(x)12sin52
15、x2sinx2，x(0，)(1)将 f(x)表示成 cos x 的多项式；(2)求 f(x)的最小值解(1)f(x)sin5x2 sinx22sinx22cos3x2 sin x2sinx22cos3x2 cosx2cos 2xcos x2cos2xcos x1.(2)f(x)2(cos x14)298，且1cos x1.当 cos x14时，f(x)取最小值98.三、探究与创新13已知函数 f(x)sinx6 cosx3，g(x)2sin2x2.(1)若 是第一象限角，且 f()3 35.求 g()的值；(2)求使 f(x)g(x)成立的 x 的取值集合解(1)f(x)32 sin x12cos x12cos x 32 sin x 3sin x，f()3sin 3 35.sin 35，又 0，2，cos 45，且 g()2sin221cos 15.(2)f(x)g(x)3sin x1cos x 32 sin x12cos xsinx6 12x62k6，2k56 x2k，2k23，kZ.