1、3.3.2简单的线性规划问题(特色训练)一、实际应用中的最优解问题例1某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？解变式训练1某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力1
2、0个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品吨，乙产品吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大二、实际应用中的最优整数解问题例2要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？分析解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3
3、)利用几何意义，求出最优解解变式训练2某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z10x10y的最大值是_3.3.2简单的线性规划问题(特别训练)参考答案例1 解由题意可画表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则x300.所以当x300时，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则y450.所以当y450时，zmax12045054 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产45
4、0个书橱，获得利润54 000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域作直线l：80x+120y=0，即直线l：2x+3y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z=80x+120y取得最大值由解得点M的坐标为(100,400)所以当x=100，y=400时，zmax=80100+120400=56 000(元)因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大变式训练1答案2024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为：目标函数为S=7x+
5、12y从图中可以看出，当直线S7x12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值解方程组得A(20,24)，故当x20，y24时，Smax7201224428(万元)例2 解设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张作出可行域(如图)：(阴影部分)目标函数为z=x+y作出一组平行直线x+y=t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A，直线方程为x+y=.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张两种方法都最少要截两种钢板共12张变式训练2 答案90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，yN*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x=5，y=4时，z取得最大值为90.