1、上海市奉贤区2021届高三数学二模试题（含解析）一、填空题（共12小题）.1经过点（2，4）的抛物线yax2焦点坐标是 2把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是 厘米3已知z（i是虚数单位）是方程x2ax+10（aR）的一个根，则|a| 4已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7a620，则S11 5已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 万元家庭年收入（万元）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）9，10）频率f0.20.20.20.260.070.076某参考辅导书上有
2、这样的一个题：ABC中，tanA与tanB是方程x23x10的两个根，则tanC的值为（）A.B.C.D.你对这个题目的评价是 （用简短语句回答）7用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A码中至少有两个1的概率是 8设Sn为正数列an的前n项和，Sn+1qSn+S1，q1，对任意的n1，nN均有Sn+14an，则q的取值为 9函数y3x+在（0，+）内单调递增，则实数a的取值范围是 10假如（x）n的二项展开式中x3项的系数是84，则（x）n二项展开式中系数最小的项是 11函数f（x）cosx，xZ的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是 12
3、如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若2，则的值域是 二、选择题（每小题5分）.13如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A与B与C与D与14下列选项中，y可表示为x的函数是（）A3|y|x20BxyCsin（arcsinx）sinyDlnyx215已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22）成立的充要条件是（）A0B0C0D016设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，向量绕着O点顺时针旋转后得到，则A的坐标为（）A（acosbsin，asin+b
4、cos）B（acos+bsin，bcosasin）C（asin+bcos，acosbsin）D（bcosasin，bsin+acos）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分）17已知M、N是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos（1）求证：M、N、B、D在同一平面上；（2）求二面角CMNC1的大小18设函数f（x）lg（1cos2x）+cos（x+），0，）（1）讨论函数yf（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设0，解关于x的不等式f（+x）f（x）019假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，
5、平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为（170，200，0），上午10时07分测得飞行机器人T在P（150，80，120）处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v113米/秒沿单位向量（，）作匀速直线飞行（飞行中无障得物），10秒后到达Q点，再发出指令让机器人在点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量（，）作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点（1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确
6、到米）20（16分）曲线1与曲线1（a0）在第一象限的交点为A，曲线是C是1（1xxA）和1（xxA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N（1）设曲线1与曲线1（a0）具有相同的一个焦点F，求线段AF的方程；（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由；（3）设过原点O的直线l与以D（t，0）（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当2对任意直线l恒成立，求t的值21（18分）设数列an满足：an+1，an+1an，设a1a，a2b（1）设b，k，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a
7、4a2a3，求a；（2）已知k0，n4，nN，当a（0，），b（0，），ab时，判断数列an是否能成等差数列，请说明理由；（3）设a4，b7，k1，求证：对一切的n1，nN，均有an参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1经过点（2，4）的抛物线yax2焦点坐标是（0，）解：抛物线yax2经过点（2，4），a1，抛物线标准方程为x2y，抛物线焦点坐标为（0，）故答案为：（0，）2把一个表面积为16平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是8厘米解：一个表面积为16平方厘米实心铁球的半径为R，可得164R2，解
8、得R2，圆锥的底面半径为2，体积为：解得h8，故答案为：83已知z（i是虚数单位）是方程x2ax+10（aR）的一个根，则|a|1解：因为z，则有i2+ai+10，解得a0，所以故答案为：14已知各项为正的等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a7a620，则S1122解：由a5+a7a620可得：2a6a620，an0，a62，S1111a622，故答案为：225已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为6.51万元家庭年收入（万元）4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）9，10）频率f0.20.20.20.260.070.07解：由题意可知，估计该社区内
9、家庭的平均年收入为：0.24.5+0.25.5+0.26.5+0.267.5+0.078.5+0.079.56.51（万元）故答案为：6.516某参考辅导书上有这样的一个题：ABC中，tanA与tanB是方程x23x10的两个根，则tanC的值为（）A.B.C.D.你对这个题目的评价是错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形（用简短语句回答）解：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形由韦达定理知，tanCtan（A+B）tan（A+B）0，C为钝角，tanAtanB10，A，B中也有一个为钝角，无法构成三角形，是一道错题故答案为：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角
10、，构不成三角形7用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A码中至少有两个1的概率是解：用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，基本事件总数n2416，事件A码中至少有两个1包含的基本事件个数m11，则事件A码中至少有两个1的概率是P故答案为：8设Sn为正数列an的前n项和，Sn+1qSn+S1，q1，对任意的n1，nN均有Sn+14an，则q的取值为2解：Sn+1qSn+S1，SnqSn1+S1（n2），an+1qan，q（n2），把n1代入Sn+1qSn+S1得，S2qa1+a1a1+a2，a2qa1，
11、满足上式，an是首相为a1，公比为q的等比数列，Sn+14an，4a1qn1，a10，q1，qn+14qn+4qn11，qn1（q2）21，（q2）2（）min，当q1，n+时，0，（q2）20，又（q2）20，（q2）20，即q2，故答案为：29函数y3x+在（0，+）内单调递增，则实数a的取值范围是（，4解：y3x+，（x0），y（3x+1）2a，函数在（0，+）内单调递增，（3x+1）2a0即a（3x+1）2在（0，+）恒成立，而y（3x+1）24，故a4，故答案为：（，410假如（x）n的二项展开式中x3项的系数是84，则（x）n二项展开式中系数最小的项是解：（x）n的二项展开式的通项
12、公式为 Tr+1（1）rxn2r，令n2r3，求得n2r+3，可得展开式中x3项的系数是 （1）r84，故r3，n9则（x）n二项展开式中第r+1项的系数为（1）r，故当r5时，系数最小，故（x）n二项展开式中系数最小的项为第六项T6x1，故答案为：11函数f（x）cosx，xZ的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是10或11解：根据题意，f（x）cosx，其周期T|n|，又由xZ，则周期0，|n|上，x可取的值为0，1，2，|n|1，若函数f（x）cosx，xZ的值域由6个实数组成，而其中f（1）f（|n|1），f（2）f（|n|2），若n为偶数，除f（0）和f（）之外，有4个函数值，必有
13、n10，若n为奇数，除f（0），有5个不同的函数值，必有n11，故答案为：10或1112如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若2，则的值域是52，5）解：以圆心为原点，平行AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（1，），C（2，），设P（2cos，2sin），则（22cos，2sin）（12cos，2sin）52cos4sin52sin（+），且0tan，0，则+（，），则sin（+）（，1，则52sin（+）52，5），故答案为：52，5）二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、
14、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A与B与C与D与解：对于A，直线PC与BD不一定垂直，故向量与不一定垂直，所以数量积不一定为零，故选项A符合；对于B，根据题意，PA面ABCD，AD平面ABCD，则PAAD，又ADAB，ABPBP，则AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，即与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项B不符合；对于C，因为PA面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB，又ABPD，PDPAP，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以PDAB，即向量与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项C不符合；对于D，因为PA面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，即
15、向量与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项D不符合；故选：A14下列选项中，y可表示为x的函数是（）A3|y|x20BxyCsin（arcsinx）sinyDlnyx2解：对于A：令x0，没有y的值与之对应，故A错误，对于B：令x4，y可以取2，故B错误，对于C：sin（arcsinx）xsiny，令x1，则y2k+，故C错误，对于D：y，是一一对应的关系，符合函数的定义，故D正确，故选：D15已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2（x12+y12）（x22+y22）成立的充要条件是（）A0B0C0D0解：x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2（
16、x12+y12）（x22+y22），化为：x1y2x2y1对于C：左边1x1y2+（1）y1x2x1y2x2y10，因此Cx1y2x2y1经过验证只有ABD不满足充要条件故选：C16设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，向量绕着O点顺时针旋转后得到，则A的坐标为（）A（acosbsin，asin+bcos）B（acos+bsin，bcosasin）C（asin+bcos，acosbsin）D（bcosasin，bsin+acos）解：根据题意，设|r，向量与x轴正方向的夹角为，又由点A的坐标为（a，b），则arcos，brsin，向量绕着O点顺时针旋转后得到，则A（rcos（），rsin（）
17、而 rcos（）rcoscos+sinsinacos+bsin，rsin（）rsincosrcossinbcosasin，故A的坐标为（acos+bsin，bcosasin），故选：B三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1876分）17已知M、N是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos（1）求证：M、N、B、D在同一平面上；（2）求二面角CMNC1的大小【解答】（1）证明：连结BD，B1D1，因为M，N分别为B1C1，C1D1的中点，所以MNB1D1，又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，且B
18、B1DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，故BDB1D1，所以MNBD，故M、N、B、D在同一平面上；（2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为a（a0），则M（2，1，a），N（1，2，a），A（0，0，0），B1（2，0，a），所以，因为异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos，所以，解得a4，所以M（2，1，4），N（1，2，4），C（2，2，0），所以，设平面CMN的法向量为，则有，令z1，则xy4，故，平面C1MN的一个法向量为，所以，由图可知，二面角CMNC1的平面角为锐角，所以二面角CMNC1的大小为
19、18设函数f（x）lg（1cos2x）+cos（x+），0，）（1）讨论函数yf（x）的奇偶性，并说明理由；（2）设0，解关于x的不等式f（+x）f（x）0解：（1）f（x）lg（1cos2x）+cos（x+）lg（2sin2x）+cos（x+），由sinx0可得xk（kZ），关于原点对称，因为f（x）lg（2sin2x）+cos（x+），当0时，f（x）lg（2sin2x）+cosx，f（x）lg（2sin2x）+cos（x）lg（2sin2x）+cosxf（x），所以函数yf（x）是偶函数；当（0，）时，f（x）lg（2sin2x）+cos（x+），f（x）lg（2sin2x）+cos（x
20、+），f（x）lg（2sin2x）cos（x+），所以f（x）f（x）0，函数yf（x）是非奇非偶函数（2）因为f（+x）lg2+lgsin2（x+）+cos（x+）lg（1+sin2x）+cos（x+），f（x）lg1cos（2x）+xos（）lg（1+sin2x）+cos（x+），因为f（+x）f（x）0，所以lg（1+sin2x）+cos（x+）lg（1+sin2x）+cos（x+），即cos（x+）cos（x+），整理得coscos（）0，所以cos（）0，所以+2k，kZ，解得，故不等式的解集x|，kZ19假设在一个以米为单位的空间直角坐标系Oxyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行
21、机器人T的控制台A，A的位置为（170，200，0），上午10时07分测得飞行机器人T在P（150，80，120）处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v113米/秒沿单位向量（，）作匀速直线飞行（飞行中无障得物），10秒后到达Q点，再发出指令让机器人在点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量（，）作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点（1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）解：（1）由已知可得机器
22、人T在10秒后到达Q点，则Q点的坐标为（150，80，120）+13（180，200，80），在Q点原地盘旋2秒再移动8秒后到达的位置为：（180，200，80）+8（212，20032，48），则从P点出发20秒后飞行机器人T的位置为（212，20032，48）；（2）当Q点与A点处于同一垂直线上时，与控制台A的距离最近，则两点间的距离为d米，则最近距离为10米20（16分）曲线1与曲线1（a0）在第一象限的交点为A，曲线是C是1（1xxA）和1（xxA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N（1）设曲线1与曲线1（a0）具有相同的一个焦点F，求线段AF的方程；（2）在（1）的
23、条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NSNF，请说明理由；（3）设过原点O的直线l与以D（t，0）（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当2对任意直线l恒成立，求t的值解：（1）若曲线1与曲线1（a0）具有相同的一个焦点F，则1+a49a，解得a24，所以双曲线的方程为x21，椭圆的方程为+1，联立，解得x，y，因为A在第一象限，所以A的坐标为（，），当F（5，0）时，直线AF的方程为y0（x5），即yx+（x5），当F（5，0）时，直线AF的方程为y0（x+5），即yx+（5x）（2）在（1）的条件下，N（7，0），当F（5，0）时
24、，NF12，椭圆C中不存在S点，不符合题意，当F（5，0）时，NF2NS，所以S是以N为原点，半径为2的圆，即（x7）2+y24，联立，得25x2686x+33810，（686）242533810，所以方程组有两组解，所以存在两个S点，使得NSNF（3）设圆D（xt）2+y2r2，直线l的方程为ykx，联立，得x2，所以xP，yPk，联立，得x2，所以xQ，yQk，因为|OD|t，ktanTOD，cosTOD，所以|OT|OD|cosTODt，所以2xP2+yP2（1+k2）xP2（1+k2），2xQ2+yQ2（1+k2）xQ2（1+k2），所以+2t2，所以1k2+k2t2，所以t2，解得t
25、21（18分）设数列an满足：an+1，an+1an，设a1a，a2b（1）设b，k，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4a2a3，求a；（2）已知k0，n4，nN，当a（0，），b（0，），ab时，判断数列an是否能成等差数列，请说明理由；（3）设a4，b7，k1，求证：对一切的n1，nN，均有an解：（1）若a，即ab，即a1a2，所以a3a2+ksina2，可得a2，所以a4a3+kcosa3，可得，所以a1a4a2a3，可得a，可得a；若a，同理可得，无解所以a；（2）若an为等差数列，因为a2ba1a，所以an+an22an1，an递增，danan1ksinan10，因为k0，所以an1（0，），又因为an递增，所以an1一定会出现大于，且不满足d0，所以矛盾，所以数列an不能成等差数列；（3）证明：n1时，a1a4；假设nk时，ak成立，则nk+1时，ak+1，ak在第一、二象限时，sinak1成立；ak在第三、四象限时，sinak0，ak+1成立；ak在第一、四象限时，cosak1成立；ak在第二、三象限时，cosak0，所以ak+1成立；所以对一切的n1，nN，均有an- 19 -