1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第三节 圆的方程 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想上一页返回首页下一页高三一轮总复习1圆的定义及方程定义平面内与的距离等于的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径 r 一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心D2，E2，半径12D2E24F定点定长上一页返回首页下一页高三一轮总复习2.点与圆的位置关系点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系：(1)若
2、 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为 t 的一个圆()(3)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0，D2E24AF0.()(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0
3、F0.()上一页返回首页下一页高三一轮总复习解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当 t0 时，表示圆心为(a，b)，半径为|t|的圆，不正确 答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是()【导学号：57962378】Aa2 或 a23B23a0C2a0D2a23D 由题意知 a24a24(2a2a1)0，解得2a23.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43 B34
4、 C.3 D2A 圆 x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 axy10 的距离 d|a41|a21 1，解得 a43.上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2017西安质检)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_x2(y1)21 两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C 的圆心为(0,1)，半径为 1，标准方程为 x2(y1)21.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5(2015全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_上一页返回首页下一页高三一轮总
5、复习x322y2254 由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则m24r2，4m2r2，解得m32，r2254，所以圆的标准方程为x322y2254.上一页返回首页下一页高三一轮总复习求圆的方程 (1)(2015全国卷)已知三点 A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.2 53D43上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)(2016天津高考)已知圆 C 的圆心在
6、x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 55，则圆 C 的方程为_上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)B(2)(x2)2y29(1)法一：在坐标系中画出ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心所以|AE|23|AD|2 33，从而|OE|OA|2|AE|2143 213，故选 B.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，解得D2，E4 3
7、3，F1.所以ABC 外接圆的圆心为1，2 33.因此圆心到原点的距离 d122 332 213.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a54 55，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 2待定系数法求圆的方程：若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从
8、而求出 a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值 温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(2017河南百校联盟联考)经过点 A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线 2xy30 上的圆的方程为_.【导学号：57962379】上一页返回首页下一页高三一轮总复习x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)法一：圆过 A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上 易知线段 AB 的垂直平分线方程为
9、y12(x4)设所求圆的圆心为 C(a，b)，则有2ab30，b12a4，上一页返回首页下一页高三一轮总复习解得 a2，且 b1.因此圆心坐标 C(2,1)，半径 r|AC|10.故所求圆的方程为(x2)2(y1)210.上一页返回首页下一页高三一轮总复习法二：设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则2545D2EF0，943D2EF0，2D2 E230，解得 D4，E2，F5，所求圆的方程为 x2y24x2y50.上一页返回首页下一页高三一轮总复习 与圆有关的最值问题 已知 M(x，y)为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和
10、最小值；(2)求y3x2的最大值和最小值上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 2.2 分 又|QC|2227324 2，|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min4 22 22 2.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)可知y3x2表示直线 MQ 的斜率 k.6 分 设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30.8 分 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2，可得 2 3k2 3，y3x2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.12
11、 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 1(变化结论)在本例的条件下，求 yx 的最大值和最小值解 设 yxb，则 xyb0.3 分 当直线 yxb 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值，|27b|12122 2，b9 或 b1.10 分 因此 yx 的最大值为 9，最小值为 1.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 2(变换条件结论)若本例中条件“点 Q(2,3)”改为“点 Q 是直线 3x4y10 上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值解 圆心 C(2,7)到直线 3x4y10 上动点 Q 的最小值为点 C 到直线3x4y10 的距离，|QC|mind|237
12、41|32427.5 分 又圆 C 的半径 r2 2，|MQ|的最小值为 72 2.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解 2某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 设 P 为直线 3x4y110 上的动点，过点 P 作圆 C：x2y22x2y10 的两条切线，切点分别为 A，B，求四边形 PACB 的面积的最小值上
13、一页返回首页下一页高三一轮总复习解 圆的标准方程为(x1)2(y1)21，2 分 圆心为 C(1,1)，半径为 r1.5 分 根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为 2SAPC212|PA|r|PA|PC|2r2.8 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线 l：3x4y110 的距离 d|3411|3242105 2.10 分 所以四边形 PACB 面积的最小值为|PC|2minr2 41 3.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习与圆有关的轨迹问题 (2014全国卷)已知点 P(2,2)，圆 C：x2y28y0，
14、过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0,4)，半径为4.2 分 设 M(x，y)，则CM(x，y4)，MP(2x,2y)由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点
15、N(1,3)为圆心，2为半径的圆 由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上 又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.7 分 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 y13x83.10 分 又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 105，|PM|4 105，所以POM 的面积为165.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入
16、已知点满足的关系式求解上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 已知点 A(1,0)，点 B(2,0)，动点 C 满足|AC|AB|，求点 C与点 P(1,4)所连线段的中点 M 的轨迹方程.【导学号：57962380】上一页返回首页下一页高三一轮总复习解 由题意可知：动点 C 的轨迹是以(1,0)为圆心，3 为半径长的圆，方程为(x1)2y29.3 分 设 M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得 C(2x01,2y04)，6 分 代入点 C 的轨迹方程得 4x204(y02)29，化简得 x20(y02)294，10 分 故点 M 的轨迹方程为 x2(y2)294.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法 2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0这一前提条件 2求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 3求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（四十七）点击图标进入