1、 高二理科数学试题 2017.04本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60 度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至少有一个
2、大于60度D. 假设三内角至多有二个大于60 度【答案】B【解析】试题分析：由题意得，反证法的证明中，假设应为所正结论的否定，所以用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，假设应为“三个内角都大于60”，故选B考点：反证法2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因，故复数对应的点在第三象限，应选答案C。3. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据定积分的意义，可知所求的封闭图像的面积为，故选C考点：利用定积分求面积4.
3、 用数学归纳法证明，的第一个取值应当是A. 1 B. 3 C. 5 D. 10【答案】C【解析】时，成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，时，不成立，满足成立，的第一个值是 ，故选5. 定义一种运算“*”：对于自然数满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1 等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选A.【方法点睛】本题考查叠代法及新定义问题，属于中档题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法
4、，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6. 若直线与曲线相切，则A. -1 B. 1 C. -2 D. 2【答案】D【解析】的导数为，设切点，则，又切线方程的斜率为，即，解得，则，故选D.7. 若复数满足其中为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数满足，设， ,可得，可得，故选B.8. 下列等式中，不正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】对于,正确；对于，不正确；对于，正确；对于，正确，故选B.9. 编号为1，2，3，4，5，6，7
5、 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有A. 60种 B. 20种 C. 10种 D. 8种【答案】C【解析】试题分析：根据题意，先安排4盏不亮的路灯，有1种情况，排好后，有5个空位；在5个空位中任意选3个，插入3盏亮的路灯，有种情况，则不同的开灯方案有10种，故选D考点：1、排列；2、组合10. 函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当时，故函数图象过原点，可排除A，又，故函数的单调区间呈周期性变化，可排除B，且当，可排除D，故选C.考点：函数的图象.11. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多
6、有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】D【解析】圆周上每四个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点，所以这些弦在圆内交点最多为个，故选D.12. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令，或，列表如下：单调递增极大值单调递减极小值单调递增，而，所以存在，使得， 存在唯一的零点，且不符合条件，应舍去，当时，解得或，列表如下：单调递减极小值单调递增极大值单调递减而时，所以存在，使得，存在唯一的零点，且，所以极小值，化为，综上可知，的取值范围是.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函
7、数的单调性、分类讨论思想及函数的零点.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.第II卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 13. 设，则 _（不用化简）【答案】【解析】， ，故答案为.14. 若，则等于_.【答案】-4【解析】由，得：，取得：，所以，故
8、，故答案为.15. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_（结果用数值表示）【答案】120【解析】试题分析：由题意得，可采用间接法：从男女组成的中，选出人，共有种不同的选法；其中人中全是男生只有一种选法，故共有种选法考点：排列、组合的应用16. 已知是曲线：的两条互相平行的切线，则与的距离的最大值为_【答案】【解析】试题分析：因为，故，即，从而得，故切线方程为，与，即与，由平行线间距离公式可得，故考点：导数几何意义，平行线间距离三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程17. 设复数（,），满足，且复数在复
9、平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上 (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由于，可得，又复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，可得，联立即可解得；（2）利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出.试题解析：（1） 由得 又复数 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，则，即， 由 联立的方程组得或， （2） 由（1）得，. 为纯虚数，.18. 已知函数，（1）若在处取得极小值，求实数的值；（2）若在区间为增函数，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出导函数 ，由可得实数的值；（2）在区
10、间为增函数等价于 时恒成立，用分离参数法可得结果.试题解析：（1）， 由在处取得极小值，得，（经检验适合题意）. （2），在区间为增函数，在区间恒成立，恒成立，即恒成立， 由于，得. 的取值范围是.19. 设，令 （1）求 的值； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行求出 的值，根据其共性可猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，一定注意步骤的规范性以及利用归纳假设的必要性.试题解析：（1）， ， . （2） 猜想： 下面用数学归纳法证明：当时，猜想成立； 假设当 时猜想成立
11、，即：， 9分当，. 当 时猜想也成立 由，可知，对任意都有 成立【方法点睛】本题通过考查数列的递推公式、归纳推理，数学归纳法的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.20. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）当有最大值，且最大值大于时,求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（）由,可分,两种情况来讨
12、论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（）的定义域为,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（）由（）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,于是,当时,当时,因此a的取值范围是.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.21. 设，（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果对任意的，恒有成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出的导函数，利用导数的几何意义，能求出曲线在处的切线方程；（2）由导数性质求出，
13、当时，且，设，由此利用导数性质能求出当时，对任意的，恒有成立.试题解析：（1） 当时， ， 时， 曲线在处的切线方程为 （2）对任意的，恒有成立，即， ， 当时，则为减函数； 当时，则为增函数； 又 ，恒成立，即恒成立，等价于 恒成立，只需求 ， 令 ，则，且，当时，即在区间上为增函数；当时，即在区间上为减函数， ， 22. （1）已知椭圆，是椭圆上不同的两个点，线段 的垂直平分线与轴相交于点证明：；（2）对于双曲线写出类似的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设的坐标分别为和，因为线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即，又交点为，故，把点坐标代入，同时把代入椭圆方程，最后联立方程即可得到，关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围；（2）根据椭圆与双曲线的相似性质，由类比推理可得结果.试题解析：（1） 设，由在线段的垂直平分线上，得由两点在椭圆上，得， 即 ， ， 又， （2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点 ，则.（或）.