1、高三数学（理科）试题 2013.1本试卷分第卷和第卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、班级填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答
2、题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第卷（共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，则（ ）A. B. C. D. 2.若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（ ）A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 3. 已知直线与直线，那么“k1=k2”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 函数的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（ ）A.（1,2） B.（1,3） C.（0,2） D.（0,3）5. 如图所
3、示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A B C D 6. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）A. B.-1 C. D.27. 函数的一个零点在区间（1,2）内，则实数a的取值范围是（ ）A.（1,2） B.（1,3） C.（0,2） D.（0,3）8. 定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3x-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1x3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+f（2013）= ( )A 335 B 338 C 337 D 20139.已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x , y）为平面区域上的一个动点，则
4、的取值范围是（ ） A. -10 B. 01 C. 02 D. -1210. 已知数列满足，且对任意的正整数m，n，都有，则等于（ ）A. B. C. D.211. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为（ ） A 或 B 或 C 或 D 或12. 已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ D ）A.3 B.4 C.9 D.16 第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13. 点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为 14. 的展开式中各
5、项系数的和为2，则该展开式中常数项为_15. 已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_16. 设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 (1) 若；则 (2)若；则 (3) 若；则 (4) 若；则 (5) 若；则三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）在ABC中，分别为A，B，C所对的边，且.(1)求角C的大小；(2)若，且ABC的面积为，求的值.18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，过BC1的平面BC1DAB1，平面BC1D交A
6、C于D.（1）求证BD平面ACC1A1；（2）若AC=2，CC1=，求二面角-B-C余弦值的大小.19. （本小题满分12分）数学试题第3页 （共4页）某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510（1）从这50名教师中随机选出2名，求这2人使用相同版本教材的概率是多少？（2）现从这50名教师中随机选出2名教师做问卷调查，若选出3名教师都使用人教版教材，求恰有1人使用人教版A版的概率是多少？（3）若随机选出的2名教师都是用人教版教材，设其中使用人教A版教材的教师人数为，求随机变量的分布列
7、和数学期望。20. （本小题满分12分）已知等比数列满足，且是的等差中项.(1)求数列 的通项公式；(2)若，的前n项和为，求使成立的正整数n的最小值.21. (本小题13分)已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线垂直于x轴时，=（1）求椭圆C的方程；（2）若点P在直线上，是否存在斜率为k的直线，满足ABP为正三角形,如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由22. (本小题13分)已知函数f (x)=()在处取到极值2.（1）求f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=ax-lnx，若对任意的x1，总存在唯一的x2（e为自然对数的
8、底数）使得g (x2)= f (x1)，求实数a的取值范围。高三期末检测数学试题答案（理科）一、1-5 DACDB 6-10 ADCCB 11-12 DD二、13. 14. 40 15. 16. (1)(2)(3)三、17. 解：（1）由正弦定理得0C180C=60或120-6分（2）若C=60，由余弦定理可得=5-9分若C=120，可得，无解。-12分18.解：（）连接交于点，则为的中点，连接平面为的中点为中点三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱BD平面ACC1A1 -5分（）以D为坐标原点，DA为x轴正半轴，DB为y轴正半轴，建立空间直角坐标系则D（0,0,0），B（0,，0），A（1,0,
9、0），C1（-1，0，），C（-1,0,0），则 ，设平面C1BD的法向量为，则，得 则，设平面的法向量为，得 则，-10分则 -12分19.解：（1）50名教师中随机选出2名的方法数为选出的2人所使用版本相同的方法数为2人所使用版本相同的概率为-3分（2）设“选出的3名教师都使用人教版教材”为事件A”，“恰有1人使用人教A版教材为事件B,.则-7分（3） -10分随机变量的分布列是 -11分E()= -12分20.解：（1）设公比为q由得，解得q=1或2又是的等差中项即2（）=若q=1，则2（+2）=2，方程无解，舍去；若q=2，则2（4+2）=2+8，解得=2 -6分（2）= - 8分 -
10、10分即n9，正整数n的最小值为10 -12分 21.解（1）设椭圆C的方程为：+=1（ab0），则a2b2=1当垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，）和（1，），=（1，）（1，）=1，则1=，即a2=6b4由，消去a，得6b4b21=0b2= （b2= 舍）所以 a2=，椭圆C的方程为+2y2=1-4分（2）设存在满足条件的直线设直线的斜率为k，则直线的方程为y=k（x1）由（6k2+2）x212k2x+6k23=0，-6分设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-7分|AB|=|x1-x2|=-9分又设AB的中点为M，则xM=当ABP为正三角
11、形时，直线MP的斜率为kMP=xp=，|MP|=|xpxM|=（）=-10分当ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，即=，解得k2=1，k=1-12分因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为xy1=0或x+y1=0-13分22.解（1）由f (x)在x=1处取得极值2，故，即，解得m=4，n=1经检验，此时f (x)在处取到极值 -3分（2）由（1）知f (x)在上单调递增，在1,2上单调递减，又f(1)=2，f(2)=f()=，f (x)的值域为 -5分依题意，记 ，当时，在上单调递减依题意得，得 -7分 当时，；当时，；当时，依题意得，或，解得 -10分当时，此时，在上单调递增依题意得，即，此不等式组无解-12分综上，所求的取值范围为 -13分