1、1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点 偶函数一般地，设函数 yf(x)的定义域为 A如果对于任意的 xA，都有 f(x)f(x)，那么称函数 yf(x)是偶函数关于 y 轴对称奇函数如果对于任意的 xA，都有 f(x)f(x)，那么称函数 yf(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.
2、函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.2.函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0).(2)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0).(3)若 f(xa)1fx，则 T2a(a0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数
3、 yf(x)关于直线 xa 对称.()(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.()1.(教材改编)对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)，下列结论正确的有_.(填序号)f(x)f(x)0；f(x)f(x)0；f(x)f(x)0;f(x)f(x)0.答案 解析 显然不正确.对任意奇函数 f(x)，有 f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)20，故正确，不正确.2.(教材改编)函数 yf(x)为(，
4、)上的偶函数，且 f(|a|)3，则 f(a)_.答案 3解析 若 a0，则 f(a)f(a)f(|a|)3；若 a0，则 f(a)f(|a|)3.故对 aR，总有 f(a)3.3.(教材改编)若函数 f(x)(x1)(xa)为偶函数，则 a_.答案 1解析 f(x)(x1)(xa)x2(1a)xa 为偶函数，f(x)f(x)对任意 xR 恒成立，(1a)x(a1)x 恒成立，1a0，a1.4.(教材改编)设函数 yf(x)是偶函数，它在0，1上的图象如图所示，则它在1，0上的解析式为_.答案 f(x)x2解析 由题意知 f(x)在1，0上为一条线段，且过(1，1)、(0，2)，设 f(x)k
5、xb，代入解得 k1，b2.所以 f(x)x2.5.(2016四川)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则 f52f(2)_.答案 2解析 f(x)为定义在 R 上的奇函数，f(0)0，又 0 x1 时，f(x)4x，f(12)124 2，f52 f(2)f 52 f(2)f 12 f(0)202.题型一 判断函数的奇偶性例 1(1)下列函数为奇函数的是_.f(x)2x12x；f(x)x3sin x；f(x)2cos x1；f(x)x22x.答案 解析 中，函数 f(x)的定义域为 R，又 f(x)2x 12x12x2xf(x)，f(x)为奇
6、函数.(2)判断函数 f(x)x2x，x0 的奇偶性.解 当 x0 时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当 x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对于 x(，0)(0，)，均有 f(x)f(x).函数 f(x)为奇函数.思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是_.y1x；ylg|x|；y(x1)2;
7、y2x.(2)函数 f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a0 且 a1)，则下列关于函数 F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性的说法正确的是_.F(x)是奇函数，G(x)是奇函数；F(x)是偶函数，G(x)是奇函数；F(x)是偶函数，G(x)是偶函数；F(x)是奇函数，G(x)是偶函数.答案(1)(2)解析(1)中，函数 ylg|x|的定义域为x|x0且 lg|x|lg|x|，函数 ylg|x|是偶函数.(2)F(x)，G(x)的定义域均为(2，2)，由已知 F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga
8、(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.题型二 函数的周期性例 2(1)(2016淮安模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，则 f(2 017)f(2 019)_.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x2)1fx，当 2x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.答案(1)0(2)2.5解析(1)由题意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x
9、)f(x4)，f(x)的周期为 4，f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.(2)由已知，可得 f(x4)f(x2)21fx21 1fxf(x).故函数的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.引申探究例2(2)中，若将f(x2)1fx改为f(x2)f(x)，其他条件不变，则f(105.5)的值为_答案 2.5解析 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数的周期为 4(下同例题)思维升华 函数的周期性反映
10、了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.答案 339解析 f(x6)f(x)，T6.当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)12 0166336.又 f(2 017)f(1)
11、1，f(2 018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.题型三 函数性质的综合应用命题点 1 解不等式问题例 3(1)(2016南通模拟)已知偶函数 f(x)在区间0，)上单调递增，则满足 f(2x1)f(13)的 x 的取值范围是_.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3a1，则实数 a 的取值范围为_.答案(1)(13，23)(2)(1，4)解析(1)因为 f(x)是偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，又 f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f(13)，所以|2x1|13，所以13x23.(2)f(x)是定义
12、在 R 上的周期为 3 的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)2a3a1，2a3a1 1，即a4a10，解得1a4.命题点 2 求参数问题例 4(1)函数 f(x)lg(a 21x)为奇函数，则实数 a_.(2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1，1上，f(x)ax1，1x0 且 1x0，由奇函数的性质可得 f(0)0.所以 lg(a2)0，即 a1，经检验 a1 满足函数的定义域.(2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f 32 f12 且 f(1)f(1)，故 f 12 f12，从而12b212112a1，即 3a
13、2b2.由 f(1)f(1)，得a1b22，即 b2a.由得 a2，b4，从而 a3b10.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|).若奇函数在 x0 处有意义，则 f(0)0.(1)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_.(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则 f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_.答案(1)32(2)f(25)f(80)f(11)解析(
14、1)函数 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，故 f(x)f(x)，即 ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得 ln 1e3xe3xe6x2axln e2ax，即 1e3xe3xe6xe2ax，整理得 e3x1e2ax3x(e3x1)，所以 2ax3x0，解得 a32.(2)因为 f(x)满足 f(x4)f(x)，所以 f(x8)f(x)，所以函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，则 f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由 f(x)是定义在 R 上的奇函数且满足 f(x4)f(x)，得 f(11)f(3)f(1)f(1).因为 f(x)在区间0，2上是
15、增函数，f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(x)在区间2，2上是增函数，所以 f(1)f(0)f(1).所以 f(25)f(80)0，2log2x10，即1x29，x1，x3，解得 1x0，f(x2)1fx，对任意 xR 恒成立，则 f(2 019)_.解析 因为 f(x)0，f(x2)1fx，所以 f(x4)f(x2)21fx2 11fxf(x)，即函数 f(x)的周期是 4，所以 f(2 019)f(50541)f(1).因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 019)f(1)f(1).当 x1 时，f(12)1f1，得 f(1)1f1.即 f(1)1，所以 f(2 019)f(1)1
16、.答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例 3 设函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足 f(xy)f(x)f(y).若 f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数 a 的取值范围.规范解答解 因为 f(xy)f(x)f(y)且 f(3)1，所以 22f(3)f(3)f(3)f(9).又 f(a)f(a1)2，所以 f(a)f(a1)f(9).再由 f(xy)f(x)f(y)，可知 f(a)f9(a1)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有a0，9a10，a9a1，解得 1af(2)，则 a 的取值范围是_.答案 12，32解析 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数且在
17、区间(，0)上单调递增，所以 f(x)f(x)且 f(x)在(0，)上单调递减.由 f(2|a1|)f(2)，f(2)f(2)可得 2|a1|2，即|a1|12，所以12a32.3.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4)f(x)，当 x(2，0)时，f(x)2x2，则 f(2 019)_.答案 2解析 由 f(x4)f(x)知，f(x)是周期为 4 的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)，又 f(x4)f(x)，f(3)f(1)，由1(2，0)得 f(1)2，f(2 019)2.4.已知 f(x)lg(21xa)为奇函数，则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_.答
18、案(1，0)解析 由f(x)f(x)0，即lg(21xa)lg(21xa)lg2a2a2x21x2lg 10可得a1，所以 f(x)lg 1x1x，解得 01x1x1，可得1x0 时，f(x)cos 6x0 x8，log2xx8，则 f(f(16)_.答案 12解析 由题意 f(16)f(16)log2164，故 f(f(16)f(4)f(4)cos 46 12.6.(2016盐城模拟)已知 f(x)ax2bx 是定义在a1，2a上的偶函数，那么 ab 的值是_.答案 13解析 依题意得 f(x)f(x)，b0，又 a12a，a13，ab13.7.(2017苏北四市联考)已知函数 f(x)lo
19、g2x，x0，gx，x0 时，f(x)x1，则当 x0 时，f(x)x1，当 x0，f(x)x1f(x)，即 x0 时，f(x)(x1)x1.10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0，1时，f(x)2x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_.答案 解析 在 f(x1)f(x1)中，令 x1t，则有 f(t2)f(t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确；当 x0，1时，f(x)2x 是增函数，根据
20、函数的奇偶性知，f(x)在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由知，f(x)在0，2上的最大值 f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值 f(x)minf(0)f(2)201 且f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错误.11.(2016江苏苏北四市二调)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x0 时，f(x)log2(x2)(a1)xb(a，b 为常数)，若 f(2)1，则 f(6)的值为_.答案 4解析 由已知得 f(0)01b，b1，又 f(2)22(a1)11，a0，f(x)
21、log2(x2)x1(x0)，f(6)f(6)3614.12.(2016江苏扬州中学开学考试)已知 f(x)是定义在2，2上的奇函数，且当 x(0，2时，f(x)2x1，函数 g(x)x22xm，如果x12，2，x22，2，使得 g(x2)f(x1)，则实数 m 的取值范围是_.答案 5，2解析 f(x)是定义在2，2上的奇函数，f(0)0，当 x(0，2时，f(x)2x1 的值域为(0，3，当 x2，2时，f(x)的值域为3，3，若x12，2，x22，2，使得 g(x2)f(x1)，则 g(x)max3 且 g(x)min3，g(x)x22xm(x1)2m1，当 x2，2时，g(x)maxg
22、(2)8m，g(x)ming(1)m1，故 8m3 且 m13，解得 m5 且 m2，故5m2.13.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒有 f(x2)f(x)，当 x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当 x2，4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2)f(2 018).(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是周期为 4 的周期函数.(2)解 x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又 f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即 f(x)x26x8，x2，4.(3)解 f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0.f(0)f(1)f(2)f(2 018)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(0)f(1)f(2)1.