1、圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：(，)半径r【知识拓展】1.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(
2、y0b)2r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.()(4)方程x22axy20一定表示圆.()(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()1.(教材改编)圆心是(2,3)，且经过原点的圆的标准方程为_.答案(x2)2(y3)213解析易得r.2.已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为_.答案6解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且AB2m.因为APB90，连结OP，易知OPABm.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最
3、大距离.因为OC5，所以(OP)maxOCr6，即m的最大值为6.3.(2016扬州检测)当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的方程为_.答案x2y22x4y0解析将方程分离参数a可得a(x1)(xy1)0，方程表示过两直线的交点，由得交点为(1，2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.4.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_.答案x2y24x60解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，CACB，即，解得a2，圆心为C(2,0)，半径CA，圆C的方程为(
4、x2)2y210，即x2y24x60.5.(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.答案(2，4)5解析由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2或a1.当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a1时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1(1)(2016天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_.(2)(2015课标全国)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准
5、方程为_.答案(1)x2y24x50(2)2y2解析(1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径rCM3，所以圆C的方程为(x2)2y29，即x2y24x50.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点，(4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令y0，解得x，圆心为，半径为.所以圆的标准方程为(x)2y2.思维升华(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的
6、方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.(2016苏北四市联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为12，则圆C的标准方程为_.答案x2(y)2解析圆C关于y轴对称，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2(yb)2r2，依题意，得解得于是圆C的标准方程为x2(y)2.题型二与圆有关的最值问题例2(2016盐城检测)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.解设txy，则yxt，t可视为直线yxt的纵截距
7、，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.引申探究1.在例2的条件下，求的最大值和最小值.解可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2.的最大值为2，最小值为2.2.在例2的条件下，求的最大值和最小值.解，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1, 2)的距离的最值，可
8、转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1,2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.(2016扬州模拟)已知实数x，y满足方程x2y
9、24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值.解(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆.设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值.由，解得k23，kmax，kmin.(2)设yxb，则yxb，当且仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)max(OC)2(2)274，(x2y2)minOB2(2)27
10、4.题型三与圆有关的轨迹问题例3(2016盐城模拟)已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，PNBN.设O为坐标原点，连结ON，则ONPQ，所以OP2ON2PN2ON2BN2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2
11、xy10.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法，利用圆的几何性质列方程.(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2016天津模拟)设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2
12、(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).21.利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.规范解答解一般解法(代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为
13、(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0).故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10.1.(2017南京检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_.答案x2y210y0解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32(r1)2r2，解得r5，所以圆的方程为x2y210y0.2.
14、已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y2x2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方，则圆M的标准方程是_.答案x2(y1)21解析点M到l的距离d .设M(0，a)，所以，所以a1或a3.又因为a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_.答案32解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，当且仅当，即b2，a1时，等号成立.的最小值为32.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y
15、)，则代入xy4，得(x2)2(y1)21.5.圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x21的渐近线截得的弦长为，则圆C的标准方程为_.答案x2(y1)21解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)，半径是1，因此其方程是x2(y1)21.6.(2016淮安模拟)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是_.答案解析圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则C(1,1)，当PC最小时，四边形PACB的面积最小，
16、(PC)min2，此时PAPB.所以四边形PACB的面积S21.7.(2016常州模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的负半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l平行的直线方程为_.答案xy30解析设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)，因为圆C过点(1,0)，且直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，所以解得即圆心坐标为(3,0)，则所求直线为yx3，即xy30.8.过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.答案xy20解析当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的
17、斜率k1，所求直线方程为y1(x1)，即xy20.9.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_.答案解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为，即tan ，tan ，tan tan()1，得，故弧长lR2(R为圆的半径).10.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_.答案1解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1，知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆，又(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x
18、3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值.圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为d，故的最大值为1.11.已知圆C经过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线lPQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程.解(1)由题意知直线PQ的方程为xy20.设圆心C(a，b)，半径为r，由于线段PQ的垂直平分线的方程是yx，即yx1，所以ba1.由圆C在y轴上截得的线段的长为4，知r2(2)2a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得a1，b0或a5，b4.当a1，b0时，r213
19、，满足题意，当a5，b4时，r237，不满足题意.故圆C的方程为(x1)2y213.(2)设直线l的方程为yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2).由题意可知OAOB，即0，x1x2(mx1)(mx2)0，化简得2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2，代入，得m212m(1m)m20，m4或m3，经检验都满足题意，直线l的方程为xy40或xy30.12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆
20、P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.圆心P的轨迹方程为y2x21.(2)设P点的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x01，即y0x01.当y0x01时，由yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1，得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.*13.已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3).(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又QC4.所以(MQ)max426，(MQ)min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，k.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.
