1、函数定义域的类型和求法一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 或。 由解得 或 和求交集得且或x5。故所求函数的定义域为。例2 求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 由解得 由和求公共部分，得故函数的定义域为评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知的定义域，求的定义域。其解法是：已知
2、的定义域是a，b求的定义域是解，即为所求的定义域。例3 已知的定义域为2，2，求的定义域。解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4 已知的定义域为1，2，求f(x)的定义域。解：因为。即函数f(x)的定义域是。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切xR都成立，由项的系数是
3、m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0恒成立，因为的定义域为R，即无实数当k0时，恒成立，解得；当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k的取值范围是。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边
4、长为于是可得矩形面积。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域（0，）。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9 已知的定义域为0，1，求函数的定义域。解：因为的定义域为0，1，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间a，1a与a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，F（x）的定义域为；（2）当时，F（x）的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10 求函数的单调区间。解：由，即，解得。即函数y的定义域为（1，3）。函数是由函数复合而成的。，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。第 5 页
