1、备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题 08 平面向量历年联赛真题汇编 1【2005 高中数学联赛(第 01 试)】空间四点 A，B，C，D 满足|=3，|=7,|=11,|=9，则 的取值()A只有一个B有两个C有四个D有无穷多个【答案】A【解析】因为 2+2=32+112=130=72+92=2+2，由+=0 得+=(+)，两边平方得 =，故 =，于是 =(+)(+)=(+)+=+=0.只有一个值 0，故选 A.2【2004 高中数学联赛(第 01 试)】设点 O 在ABC 内部，且有+2+3=0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为()A2B32C3D5
2、3【答案】C【解析】解法一如图，设 D，E 分别是 AC，BC 边的中点，则+=2 2(+)=4 由式与得+2+3=2(+2)=0，即 与 共线，且|=2|，所以=32，所以=322=3.故选：C.解法二+2+3=0，则+2(+)+3(+)=2+6+3=0，所以(2+6+3)=0，则|=3|，所以=.引申如果题目条件是+=0，熟悉物理的人很容易看出,可以看成是 3 个两两成 120的同等大小的力.如果我们把 延长 1 倍，延长 2 倍，不就照样可以用这种物理方法解决本道题了吗?另外，我们可以将问题推广至三维情形：点 O 在四面体 ABCD 内，有+2+4+5=0，:=？实际上，向量前面的系数无
3、关紧要，可以取负数，无理数，并不妨碍此题的简单本质.解决此类问题，下面的结论是关键：设 C 是 AB 上一点，则=+(1 )，其中=.3【2020 高中数学联赛 A 卷(第 01 试)】在椭圆中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点,1,2为两个焦点.若1 2+1 2=0,则|12|的值为.【答案】22【解析】不妨设的方程为22+22=1(0),A(a,0),B(0,b),1(,0),2(,0),其中=2 2.由条件知1 2+1 2=()()+(2+2)=2+2 22=0.所以|12|=2+22=222=22.4【2020 高中数学联赛 B 卷(第 01 试)】在凸四边形 ABCD 中,
4、=2 点 P 是四边形 ABCD 所在平面上一点,满足+2020+2020=0.设 s,t 分别为四边形 ABCD 与 PAB 的面积,则=.【答案】3372021【解析】不妨假设 AD=2,BC=4.记 M,N,X,Y 分别是 AB,CD,BD,AC 的中点,则 M,X,Y,N 顺次共线并且 MX=XY=YN=1.由于+=2,+=2,故结合条件可知+2020=0.故点 P 在线段 XY 上且=12021.设 A 到 MN 的距离为 h,由面积公式可知=2=2=1+1202123=3372021.5【2019 高中数学联赛 A 卷(第 01 试)】平面直角坐标系中，已是单位向量，向量 满足 =
5、2，且|2 5|+|对任意实数 t 成立，则|的取值范围是.【答案】5,25【解析】不妨设=(1,0).由于 =2，可设=(2,)，则对任意实数 t，有4+2=|2 5|+|=5(2+)2+2，这等价于4+2 5|，解得|1,4，即2 1,16.于是|=4+2 5,25.6【2019 高中数学联赛 B 卷(第 01 试)】若平面向量=(2,1)与=(2 1,2+1)垂直，其中 m 为实数，则的模为.【答案】10【解析】令 2m=t，则 t0.条件等价于 (1)+(1)2=0，解得 t=3.因此的模为32+(1)2=10.7【2018 高中数学联赛 A 卷(第 01 试)】设 O 为ABC 的外
6、心，若=+2，则 sinBAC 的值为.【答案】104【解析】不失一般性，设ABC 的外接圆半径 R=2.由条件知，2=故=12 =1.取 AC 的中点 M，则 OMAC，结合知 OMBO，且 B 与 A 位于直线 OM 的同侧.于是cos=cos(90+)=sin=14.在BOC 中，由余弦定理得=2+2 2 cos=10，进而在ABC 中，由正弦定理得sin=2=104.8【2015 高中数学联赛(第 01 试)】在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，边 DC 上(包含点 D，C)的动点 P 与 CB 延长线上(包含点 B)的动点 Q 满足|=|，则向量与向量的数量积 的最小值为.【答
7、案】34【解析】不妨设 A(0，0)，B(2，0)，D(0，1).设 P 的坐标为(t，1)(其中 0t2)，则由|=|得 Q 的坐标为(2，t)，故=(,1)，=(2 ,1),因此 =()(2 )+(1)(1)=2 +1=(12)2+34 34，当=12时()min=34.9【2013 高中数学联赛(第 01 试)】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在抛物线 y2=4x 上，满足 =4，F 是抛物线的焦点，则 =.【答案】2【解析】点 F 坐标为(1，0).设(1,1),(2,2)，则1=124,2=224,故4=12+12=116(12)2+12，即116(12+8)2=0，故12
8、=8，=(12|1|)(12|2|)=14|2|12|=2.10【2012 高中数学联赛(第 01 试)】设 P 是函数=+2(0)的图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y=x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A，B，则 的值是.【答案】1【解析】解法一设(0,0+20)，则直线 PA 的方程为 (0+20)=(0)，即=+20+20，由=+20+20 得(0+10,0+10)，又(0,0+20)，所以=(10,10),=(0,0)，故 =10 (0)=1.解法二如图，设(0,0+20)(0 0)，则点 P 到直线 xy=0 和 y 轴的距离分别为|=|0(0+20)|2=20，|=0.因为 O
9、，A，P，B 四点共圆(O 为坐标原点)，所以=34，故 =|cos34=1.11【2007 高中数学联赛(第 01 试)】在ABC 和AEF 中，B 是 EF 的中点，AB=EF=1，BC=6，=33，若 +=2，则 与 的夹角的余弦值等于.【答案】23【解析】因为 +=2，所以 (+)+(+)=2，即 2+=2，因为 2=1，=33 1 33+1362331=1，=，所以1+()1=2，即 =2，设 与 的夹角为，则有|cos=2，即3cos=2，所以cos=23.12【2016 高中数学联赛(第 01 试)】在ABC 中，已知 +2 =3 ，求 sinC 的最大值.【答案】73【解析】由
10、数量积的定义及余弦定理知，=cos=2+222，同理得，=2+222,=2+222.故已知条件化为2+2 2+2(2+2 2)=3(2+2 2)，即2+22=32.由余弦定理及基本不等式，得cos=2+222=2+213(2+22)2=3+6 23 6=23，所以sin=1 cos2 73.等号成立当且仅当:=3:6:5.因此 sinC 的最大值是73.优质模拟题强化训练 1已知向量 ，且|=|=24若 0,1，则|+|512 (1 )|的最小值为()A2193B26C242D24【答案】B【解析】作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得 =，512 (1)=，=10，=.故|+
11、|512 (1 )|=|+|=26.2设、为两个相互垂直的单位向量,已知=,=,=+,若PQR 为等边三角形，则 k、r 的取值为()A=132B=132,=132C=132D=132，=132【答案】C【解析】注意到|=|=|2+(1)2=(1)2+2=2 =132.选 C.3已知点 P、Q 在ABC 内，且+2+3=2+3+5=0，则|等于().A130B131C132D133【答案】A【解析】由题设知:=1:2:3，:=2:3:5，故=2，所以/.又=6,=5，故|=15 16=130.故答案为 A4 的三边长分别为=，=，=若=2 2+2 2=2 3+2 3=2 4+2 4，则，中小于
12、 0的个数为()A3B2C1D0【答案】A【解析】如图，以为斜边、2为直角边作Rt ；以为斜边、为直角边作Rt ，使在的延长线上则=2 2+2 2=同理，作Rt 、Rt 、Rt 、Rt ，使=3，=2，有 =2 3+2 3=，=2 4+2 4=可见，图所得到的 就是已知三角形(全等)，这个三角形的三条高线为=2，=2，=3由三角形面积公式有 =2则=2=23，=2=，=2=2从而，中的最大角为由余弦定理得cos=2+222=312 0可见，为锐角，为锐角三角形，得=cos()0同理，0，0，则2 1,1+2=8.设点(0,),中点为(4,42+2).由(+2)=42 2 .则().A .B .
13、C D 【答案】A【解析】设的外接圆半径为.则 =2cos2,=2cos2,=2cos2.又由 ，可知sin sin sin 0.故1 2sin2 1 2sin2 1 2sin2，即cos2 cos2 .8已知空间四边形,=,=,=,=.则 =().A12(2+2+2+2)B12(2+2+2+2)C12(2+2 2 2)D12(2+2 2 2)【答案】D【解析】=(+)(+)=2+=2+(+)2 2 2 22=2+()2 2 2 22=2+2222=2+2222.故答案为 D9设为所在平面内一动点.则使得 +取得最小值的点是的().A外心B内心C重心D垂心【答案】C【解析】注意到 +=(+)+
14、(+)(+)+(+)=3 2+2(+)+=3(+3)2(+)23+当=+3，即为的重心时，式取得最小值(+)23+.故答案为 C 10设椭圆22+22=1(0)的一个焦点为，点在轴上，直线交椭圆于点、=1,=2,则实数1+2=()A222B22C222D22【答案】C【解析】不妨设(,0)，记(0,)、(,)，设=，即(,)=(,)，解得=1+，=1+，代入椭圆方程整理得42+222+22 22=0，故1+2=222.故答案为 C 11已知点在 内，且满足=13 +14，设、的面积依次为1、2、3，则1:2:3=_【答案】5:4:3【解析】因为=13 +14 =13()+14()，所以5+4+
15、3=0，所以1:2:3=5:4:3 12设 H 是ABC 的垂心，且3+4+5=0，则cos=_.【答案】66【解析】题设得tan3=tan4=tan5=.再由tan+tan+tan=tantantan，得=15，tan=5.故cos=cos=66.故答案为 66 13ABC 的三边分别为 a、b、c，点 O 为ABC 的外心，已知2 2+2=0，那么 的取值范围是_.【答案】(14,2)【解析】延长 AO 交ABC 的外接圆于 D，得到 =12 12 =12(2 2)=(12)2 14.因为2=2+2 0，所以 b(0，2)，故 (14,2).故答案为：(14,2)14设正六边形 ABCDE
16、F 的边长为 1，则(+)(+)=_.【答案】3【解析】如图所示，建立平面直角坐标 系设 C(1，0)，则(12,32),(12,32)，(12,32),(12,32).于是+=(1,0)+(12,32)=(32,32)，+=(1,3)+(1,3)=(0,23)，于是(+)(+)=(32,32)(0,23)=3.故答案为：3 15在平面上，1 2，|1|=|2|=1，=1+2，若|12，则|的取值范围是_.【答案】(72,2【解析】因为1 2,=1+2 则12为矩形,以1所在直线为轴,以2为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设1=,2=,(,)则(0,0),1(,0),2(0,),(,)因为|
17、1|=|2|=1 所以()2+2=12+()2=1 变形可得()2=1 2()2=1 2 因为|12,即()2+()2 14 由以上两式可得1 2+1 2 74 因为()2 0,()2 0,即1 2 0,1 2 0 所以2 1,2 1 则2+2 2 综上可知74 2+2 2 因为|=2+2 所以72|2,即|(72,2 故答案为:(72,216已知为ABC 的内心，且5=4(+).记 Rr 分别为ABC 的外接圆内切圆半径，若=15，则 R=_.【答案】32【解析】解法一：如图，取 BC 的中点 D，依题意，有5=4(+)=8.所以 AID 三点共线，AB=AC.由 r=ID=15，知 IA=
18、24.作 IEAB 于 E，则 IE=ID=15，sin=1524=58,cos=398,tan=539.所以=2=2 tan=2 39 539=1039.又sin=sin2=2 58 398=53932.所以2=sin=1039 32539=64,=32.解法二：依题意，有5+4+4=0.由三角形内心的向量表示：若 abc 分别为ABC 的内角 ABC 的对边，I 为ABC 的内心，则+=0.可得，a：b：c=5：4：4，设 a=10k，则 b=c=8k.作 ADBC 于 D，则=39，=12 =5392.又 r=15，=12(+)=13，因此，=1315539=39.又sin=398，所以
19、2=sin=8sin=839 839=64,=32.故答案为：32 17已知向量,满足|:|:|=1:3(+)，且 =2()，若为,的夹角，则cos=_.【答案】112【解析】因为 =2()，所以=13 +23 ，所以 2=19 2+49 2+49 .因为|=|:|=1:3，所以2=19+4+43 cos (2,6).又因为 kZ+，所以 k=2，所以cos=112.故答案为：112 18在直角坐标系中，已知三点(,1)，(2,)，(3,4).若与在方向上的射影相同，则3 4=_.【答案】2【解析】解法 1向量、在方向上的射影分别为|、|.依题意得 =，即3+4=6+4.故3 4=2.解法 2
20、 因为向量与在方向上的射影相同，所以，即 =0.故3(2 )+4(1)=0，即3 4=2.19如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含端点)上运动，P 为Q 上及内部的动点，设向量 +(、).则 mn 的取值范围是_.【答案】2，5【解析】由已知得 =4 2，=2+4则+=12(+)=12 (+)=14 .注意到，等于在方向的投影乘以|(|=4).当点 Q 在点 c 处、点 P 在 BC 上时，在方向的投影最短为 2；当点 Q 在点 D 处、点 P 在 AD 上时，在方向的投影最长为 5.综上，+2，5故答案为2，520在 中，=60，的平分线交于，且有=14 +若=8，则=_【答案】63【解析】过点作 交于点，交于点，由题设=14 +=+，所以=14，=13，=因此=13=，所以=24，=3=34，因此=34 所以|2=|14 +34|2=(14 +34)(14 +34)=116|2+916|2+616 =108 由此得=63