1、上海市十二校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1幂函数y=x（mN）在区间（0，+）上是减函数，则m=_2函数的定义域是_3在ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=_4设i为虚数单位，若关于x的方程x2（2+i）x+1+mi=0（mR）有一实根为n，则m=_5若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=_6若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是_7若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x1，5上有解，则实数a的取值范围为_8孙
2、子算经卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？_（只需写出一个答案即可）9若（x0，y0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为_10设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为_11如图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE，令x=，y=，z=，则x、y、z 的大小顺序为_12设函数 f（ x）的定义域为D，D0，4，它的对应法则为 f：xsin x，现已知 f（ x）的值域为0，1，则这样的函数共有_个13若多项式（12x+3x24x3+2000x1999+2001x2000）（1+2x
3、+3x2+4x3+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+a3999x+a4000，则a1+a3+a5+a2011+a2013+a2015=_14在平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（1，），以原点为圆心，r0为半径作一个圆，与射线y=x（x0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为_二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15若非空集合 A中的元素具有命题的性质，集合B中的元素具有命题的性质，若 AB，则命题是命题的( )条件A充分非必要B必要非
4、充分C充分必要D既非充分又非必要16用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除17实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1，则xy的最大值为( )A4B2C2D18直线m平面，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是( )A，B22，2+2C，D32，3+2三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要的步骤.19已知正四棱柱ABCDA1B1C1D
5、1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQAB，C1QQR（1）求证：C1Q平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积20已知数列bn满足b1=1，且bn+1=16bn（nN），设数列的前n项和是Tn（1）比较Tn+12与TnTn+2的大小；（2）若数列an 的前n项和Sn=2n2+2n+2，数列cn=anlogdbn（d0，d1），求d的取值范围使得cn是递增数列21某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（x+）（A0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（x+）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的
6、叠加（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+1）与f2（x）=sin（x+2）叠加后仍是“1类波”，求21的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由22（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）xa2（a，bR）（1）若a=0，当x，1时恒有f（x）0，求b的取值范围；（2）若a0且b=1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范
7、围23（18分）设有二元关系f（x，y）=（xy）2+a（xy）1，已知曲线：f（x，y）=0（1）若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X=x1，x2，x8的所有非空子集设为Yi
8、=1，2，255），将Yi中的所有元素相加（若Yi中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、y2、y255，求y13+y23+y2553的值上海市十二校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对4分，否则一律得零分.1幂函数y=x（mN）在区间（0，+）上是减函数，则m=0考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据幂函数的性质，可得m2+2m30，解不等式求得自然数解，即可得到m=0解答：解：由幂函数y=xm2+2m3在（0，+）
9、为减函数，则m2+2m30，解得3m1由于mN，则m=0故答案为：0点评：本题考查幂函数的性质，主要考查二次不等式的解法，属于基础题2函数的定义域是（0，1考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 专题：计算题分析：令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域解答：解：0x1函数的定义域为（0，1故答案为：（0，1点评：求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非03在ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=考点：余弦定理的应用 专题：计
10、算题分析：先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案解答：解：已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，BCACsinC=12sinC=cos2C=12sin2C=12=故答案为：点评：本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用属基础题4设i为虚数单位，若关于x的方程x2（2+i）x+1+mi=0（mR）有一实根为n，则m=1考点：复数相等的充要条件 专题：数系的扩充和复数分析：把n代入方程，利用复数相等的条件，求出m，n，即可解答：解：关于x的方程x2（2+i）x+1+mi=0（mR）有一实根为n，可得n2（2+i）n+1+mi=0所
11、以，所以m=n=1，故答案为：1点评：本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题5若椭圆的方程为+=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=4或8考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先分两种情况：焦点在x轴上焦点在y轴上，分别求出a的值即可解答：解：焦点在x轴上时：10a（a2）=4解得：a=4焦点在y轴上时a2（10a）=4解得：a=8故答案为：4或8点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系式，及相关的运算问题6若一个圆锥的侧面展开如圆心角为120、半径为3 的扇形，则这个圆锥的表面积是4考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表
12、面积 专题：空间位置关系与距离分析：易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2即为圆锥的底面半径，圆锥表面积=底面积+侧面积=底面半径2+底面半径母线长，把相关数值代入即可求解解答：解：圆锥的侧面展开图的弧长为：=2，圆锥的底面半径为22=1，此圆锥的表面积=（1）2+13=4故答案为：4点评：本题考查扇形的弧长公式为 ；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，圆锥的表面积的求法7若关于x的方程lg（x2+ax）=1在x1，5上有解，则实数a的取值范围为3a9考点：函数的零点 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意，x2+ax10=0在x1，5上有解，可得a=x在x1，5上有解，利用a=x在x1，
13、5上单调递减，即可求出实数a的取值范围解答：解：由题意，x2+ax10=0在x1，5上有解，所以a=x在x1，5上有解，因为a=x在x1，5上单调递减，所以3a9，故答案为：3a9点评：本题主要考查方程的根与函数之间的关系，考查由单调性求函数的值域，比较基础8孙子算经卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）（只需写出一个答案即可）考点：进行简单的合情推理 专题：推理和证明分析：根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7
14、整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案解答：解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：152+213+702=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：2331052=23或105k+23（k为正整数）故答案为：23，或105k+23（k为正整数）点评：本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键可以原文理解为：
15、三个三个的数余二，七个七个的数也余二，那么，总数可能是三乘七加二，等于二十三二十三用五去除余数又恰好是三9若（x0，y0），则目标函数k=6x+8y取最大值时点的坐标为（0，5）考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由题意，画出约束条件的可行域，结合目标函数K=6x+8y取得最大值的点的坐标即可解答：解：由题意画出约束条件的可行域，与直线6x+8y=0平行的直线中，只有经过M点时，目标函数K=6x+8y取得最大值目标函数K=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为：x+y=5与y轴的交点（0，5）故答案为：（0，5）点评：本题是中档题，考查线性规划的应用，注意正确做出约束条件的可行域是
16、解题的关键，考查计算能力10设口袋中有黑球、白球共7 个，从中任取2个球，已知取到至少1个白球的概率为，则口袋中白球的个数为3考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：设口袋中白球个数为x个，由对立事件概率公式得到1=，由此能求出口袋中白球的个数解答：解：设口袋中白球个数为x个，由已知得1=，解得x=3故答案为：3点评：本题考查口袋中白球的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用11如图所示，一个确定的凸五边形 ABCDE，令x=，y=，z=，则x、y、z 的大小顺序为xyz考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用分析：
17、根据向量的数量积公式分别判断x，y，z的符号，得到大小关系解答：解：由题意，x=ABACcosBAC0，y=ABADcosBADABACcosBAD，又BADBAC所以cosBADcosBAC，所以xy0z=ABAEcosBAE0，所以xyz故答案为：xyz点评：本题考查了向量的数量积的公式；属于基础题12设函数 f（ x）的定义域为D，D0，4，它的对应法则为 f：xsin x，现已知 f（ x）的值域为0，1，则这样的函数共有1395个考点：映射 专题：函数的性质及应用；集合分析：分别求出sinx=0，x=0，2，3，4，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=利用排列
18、组合知识求解得出这样的函数共有：（C+C）（）（）即可解答：解：函数 f（ x）的定义域为D，D0，4，它的对应法则为 f：xsin x，f（ x）的值域为0，1，sinx=0，x=0，2，3，4，sinx=，x=，x=，x=，x=，sinx=1，x=，x=这样的函数共有：（C+C）（）（）=31153=1395故答案为：1395点评：本题考查了映射，函数的概念，排列组合的知识，难度不大，但是综合性较强13若多项式（12x+3x24x3+2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+
19、a3999x+a4000，则a1+a3+a5+a2011+a2013+a2015=0考点：二项式定理的应用 专题：计算题；二项式定理分析：根据等式，确定a1=20002001+20012000=0，a3=0，a5=0，即可得出结论解答：解：根据（12x+3x24x3+2000x1999+2001x2000）（1+2x+3x2+4x3+2000x1999+2001x2000）=a0x4000+a1x3999+a2x3998+a3999x+a4000，可得a1=20002001+20012000=0，a3=0，a5=0，所以a1+a3+a5+a2011+a2013+a2015=0，故答案为：0点评
20、：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础14在平面直角坐标系中有两点A（1，3）、B（1，），以原点为圆心，r0为半径作一个圆，与射线y=x（x0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为2考点：两点间距离公式的应用 专题：计算题；转化思想；推理和证明分析：由题意，设M（a，a）（a0），则r=2a，N（2a，0）可得|AM|+|BN|=+，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（，）和（1，）的距离和，即可得出结论解答：解：由题意，设M（a，a）（a0），则r=2a，N（2a，0）|AM|+|BN|=+设2a=x，则|AM|+|BN|=
21、+，可以理解为（x，0）与（5，）和（1，）的距离和，|AM|+|BN|的最小值为（5，）和（1，）的距离，即2故答案为：2点评：本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15若非空集合 A中的元素具有命题的性质，集合B中的元素具有命题的性质，若 AB，则命题是命题的( )条件A充分非必要B必要非充分C充分必要D既非充分又非必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：集合；简易逻辑分析：可举个例子来判断：比如A=1，B=1，2，：x0，：x3，容易说明此时命题是命题
22、的既非充分又非必要条件解答：解：命题是命题的既非充分又非必要条件；比如A=1，：x0；B=1，2，：x3；显然成立得不到成立，成立得不到成立；此时，是的既非充分又非必要条件故选：D点评：考查真子集的概念，以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念，以及找一个例子来说明问题的方法16用反证法证明命题：“已知a、bN*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca、b不都能被5整除Da不能被5整除考点：反证法 专题：证明题；反证法；推理和证明分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不
23、成立，由此得出此命题是成立的解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故选：B点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧17实数x、y满足x2+2xy+y2+x2y2=1，则xy的最大值为( )A4B2C2D考点：三角函数的最值；基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由x2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（x+y）2+（xy）2=1可设x+y=cos，xy=sin，0，2）利用（xy）2=（x+y）
24、24xy=（sin+2）2+54，即可得出解答：解：由x2+2xy+y2+x2y2=1，变形为（x+y）2+（xy）2=1可设x+y=cos，xy=sin，0，2）（xy）2=（x+y）24xy=cos24sin=1sin24sin=（sin+2）2+54，xy2，故选：C点评：本题考查了三角函数代换、三角函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18直线m平面，垂足是O，正四面体ABCD的棱长为4，点C在平面上运动，点B在直线m上运动，则点O到直线AD的距离的取值范围是( )A，B22，2+2C，D32，3+2考点：点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离分
25、析：确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，最小距离为AD到球心的距离半径解答：解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2+2最小距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）半径=22点O到直线AD的距离的取值范围是：22，2+2故选：B点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，解题时要注意空间思维能力的培养三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题须写出必要
26、的步骤.19已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长为，点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上，Q是BB1中点，且PQAB，C1QQR（1）求证：C1Q平面PQR；（2）若C1Q=，求四面体C1PQR的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知得AB平面B1BCC1，从而PQ平面B1BCC1，进而C1QPQ，又C1QQR，由此能证明C1Q平面PQR（2）由已知得B1Q=1，BQ=1，B1C1QBQR，从而BR=，QR=，由C1Q、QR、QP两两垂直，能求出四面体C1PQR 的体积解答：（1）证明：四棱柱ABCDA1B1C
27、1D1是正四棱柱，AB平面B1BCC1，又PQAB，PQ平面B1BCC1，C1QPQ，又已知C1QQR，且QRQP=Q，C1Q平面PQR（2）解：B1C1=，B1Q=1，BQ=1，Q是BB1中点，C1QQR，B1C1Q=BQR，C1B1Q=QBR，B1C1QBQR，BR=，QR=，C1Q、QR、QP两两垂直，四面体C1PQR 的体积V=点评：本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20已知数列bn满足b1=1，且bn+1=16bn（nN），设数列的前n项和是Tn（1）比较Tn+12与Tn
28、Tn+2的大小；（2）若数列an 的前n项和Sn=2n2+2n+2，数列cn=anlogdbn（d0，d1），求d的取值范围使得cn是递增数列考点：数列递推式；数列的函数特性 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由数列递推式可得数列bn为公比是16的等比数列，求出其通项公式后可得，然后由等比数列的前n项和求得Tn，再由作差法证明Tn+12TnTn+2；（2）由Sn=2n2+2n+2求出首项，进一步得到n2时的通项公式，再把数列an，bn的通项公式代入cn=anlogdbn=4n+（44n）logd2=（44logd2）n+4logd2，然后由一次项系数大于0求得d的取值范围解答：解：（
29、1）由bn+1=16bn，得数列bn为公比是16的等比数列，又b1=1，因此，则=，Tn+12TnTn+2 =于是Tn+12TnTn+2；（2）由Sn=2n2+2n+2，当n=1时求得a1=S1=6；当n2时，=4na1=6不满足上式，an=当n=1时，c1=a1logdb1=6logd1=6，当n2时，可得cn=anlogdbn=4n+（44n）logd2=（44logd2）n+4logd2，要使数列cn是递增数列，则，解得：0d1或d4综上，d（0，1）（4，+）点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了对数不等式的解法，是中档题21某种波的传播是由曲线f（x）=Asin
30、（x+）（A0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（x+）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加（1）已知“1 类波”中的两个波f1（x）=sin（x+1）与f2（x）=sin（x+2）叠加后仍是“1类波”，求21的值；（2）在“A类波“中有一个是f1（x）=sinx，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换进一步求出函数中角的大小（2
31、）利用（1）的结论再对函数关系式进行变换最后证明出函数时平波解答：解：（1）f1（x）+f2（x）=sin（x+1）+sin（x+2）=（cos1+cos2）sinx+（sin1+sin2）cosx所以函数的振幅为：=则：=1即：所以：（kZ）（2）设f2（x）=Asin（x+1），f3（x）=Asin（x+2）则：f1（x）+f2（x）+f3（x）=Asinx+Asin（x+1）+Asin（x+2）=Asinx（1+cos1+cos2）+Acosx（sin1+sin2）=0恒成立则：即：消去2得到：若取1=，则可取2=此时：，f1（x）+f2（x）+f3（x）=+=0所以为平波点评：本题考查
32、的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，信息题的应用，主要考查学生对实际问题的应用能力，属于中档题型22（16分）设函数f（x）=ax2+（2b+1）xa2（a，bR）（1）若a=0，当x，1时恒有f（x）0，求b的取值范围；（2）若a0且b=1，试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点，使得函数y=f（x）的图象永远不经过这两点；（3）当a2+b2=1时，函数y=f（x）存在零点x0，求x0的取值范围考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆分析：（1）求出a=0的解析式，再一次函数的单调性，得到不等式，即可得到范围；（2）（2）b=1时，y=a（x21）x2，
33、当x2=1时，无论a取任何值，y=x2为定值，y=f（x）图象一定过点（1，3）和（1，1），运用函数的定义即可得到结论；（3）存在x0，ax02+（2b+1）x0a2=0，即（x021）a+（2x0）b+x02=0，可看作点（a，b）的直线方程，而a2+b2=1可看作点（a，b）的圆，运用直线和圆有交点的条件，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到范围解答：解：（1）当a=0时，f（x）=（2b+1）x2，当x，1时恒有f（x）0，则f（）0且f（1）0，即b0且2b10，解得b；（2）b=1时，y=a（x21）x2，当x2=1时，无论a取任何值，y=x2为定值，y=f（x）图象一定过点C
34、（1，3）和D（1，1）由函数定义可知函数图象一定不过A（1，y1）（y13）和B（1，y2）（y21）；（3）存在x0，ax02+（2b+1）x0a2=0，即（x021）a+（2x0）b+x02=0，可看作点（a，b）的直线方程，而a2+b2=1可看作点（a，b）的圆，直线与圆有交点，则圆心到直线的距离d=1，即1，即为x02x02+1，且x02x021，解得x0（，+）点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题，主要考查一次函数的单调性，运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键23（18分）设有二元关系f（x，y）=（xy）2+a（xy）1，已知曲线：f（x，y）=0（1）
35、若a=2时，正方形ABCD的四个顶点均在曲线上，求正方形ABCD的面积；（2）设曲线C与x轴的交点是M、N，抛物线E：y=x2+1与 y 轴的交点是G，直线MG与曲线E交于点P，直线NG 与曲线E交于Q，求证：直线PQ过定点（0，3）（3）设曲线C与x轴的交点是M（u，0）、N（v，0），可知动点R（u，v）在某确定的曲线上运动，曲线与上述曲线C在a0时共有4个交点，其分别是：A（x1，|x2）、B（x3，x4）、C（x5，x6）、D（x7，x8），集合X=x1，x2，x8的所有非空子集设为Yi=1，2，255），将Yi中的所有元素相加（若Yi中只有一个元素，则和是其自身）得到255个数y1、
36、y2、y255，求y13+y23+y2553的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；数列的求和；数列与函数的综合 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）令f（x，y）=（xy）2+2（xy）1=0，解得xy=1，可得f（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，即可得出其面积S（2）在曲线C中，令y=0，则x2+ax1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=1，G（0，1），可得直线MG，NG方程联立解得P，同理可得Q（2m，2m2+1）可得直线PQ的方程为：，即可验证直线PQ过定点（0，3）（3）令y=0，则x2+ax1=0，则mn=1，即点R（u，v）在曲线xy=1上，又
37、曲线C：f（x，y）=（xy）2+a（xy）1=0恒表示平行线xy=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=x对称，可得x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+x8=0，集合X=x1，x2，x8的所有非空子集设为Yi=1，2，255），取Y1=x1，x2，x8，则y1=x1+x2+x8=0，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），YpYq=X，YpYq=，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0，因此=0，即可得出解答：解：（1）令f（x，y）=（xy）2+2（xy）1=0，解得xy=1，f
38、（x，y）表示两条平行线，之间的距离是2，为一个正方形，其面积S=4（2）证明：在曲线C中，令y=0，则x2+ax1=0，设M（m，0），N（n，0），则mn=1，G（0，1），则直线MG：y=x+1，NG：y=x+1联立，解得P，同理可得Q（，+1）直线PQ的方程为：y=（m+n）（x+）令x=0，则y=+（m+n）=+（+n）=3，因此直线PQ过定点（0，3）（3）令y=0，则x2+ax1=0，则mn=1，即点R（u，v）在曲线xy=1上，又曲线C：f（x，y）=（xy）2+a（xy）1=0恒表示平行线xy=，如图所示，A（x1，x2），B（x3，x4）关于直线y=x对称，则，即x1+x2+x3+x4=0，同理可得x5+x6+x7+x8=0，则x1+x2+x8=0，集合X=x1，x2，x8的所有非空子集设为Yi=1，2，255），取Y1=x1，x2，x8，则y1=x1+x2+x8=0，=0，对X的其它子集，把它们配成集合“对”（Yp，Yq），YpYq=X，YpYq=，这样的集合“对”共有127对，且对每一个集合“对”都满足yp+yq=0，因此=0，于是y13+y23+y2553=0点评：本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性质、中点坐标公式、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题