1、1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin，(C)cos()cos cos sin sin，(C)sin()sin cos cos sin，(S)sin()sin cos cos sin，(S)tan()tan tan 1tan tan，(T)tan()tan tan 1tan tan.(T)2二倍角公式sin 22sin cos；(S2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(C2)tan 2 2tan 1tan2.(T2)【知识拓展】1降幂公式：cos21cos 22，sin21cos 22.2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22s
2、in2.3辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin ba2b2，cos aa2b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定()(3)若 45，则 tan tan 1tan tan.()(4)对任意角 都有 1sin(sin 2cos 2)2.()(5)y3sin x4cos x 的最大值是 7.()(6)在非直角三角形中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C()1(教材改编)sin
3、 18cos 27cos 18sin 27的值是()A.22B.12C.32D 22答案 A解析 sin 18cos 27cos 18sin 27sin(1827)sin 45 22.2化简cos 40cos 25 1sin 40等于()A1B.3C.2D2答案 C解析 原式cos 40cos 25 1cos 50cos 40cos 252sin 25 cos 4022 sin 50 2.3若sin cos sin cos 12，则 tan 2 等于()A34B.34C43D.43答案 B解析 由sin cos sin cos 12，等式左边分子、分母同除 cos，得tan 1tan 112，
4、解得 tan 3，则 tan 2 2tan 1tan234.4tan 20tan 40 3tan 20tan 40.答案 3解析 tan 60tan(2040)tan 20tan 401tan 20tan 40，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)3 3tan 20tan 40，原式 3 3tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.5(2016江西玉山一中期中)已知 f(x)3sin xcos xsin2x，则 f(x)在4，6上的最大值为()A12B0C.12D1答案 C解析 f(x)3sin xcos xsin2x 32 sin 2x1cos
5、2x2sin(2x6)12，x4，6，2x623，6，f(x)的最大值为12.第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例 1(1)(2016广州模拟)已知 sin 35，(2，)，则cos 22sin4.(2)在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值为()A 22B.22C.12D12答案(1)75(2)B解析(1)cos 22sin4cos2sin22 22 sin 22 cos cos sin，sin 35，(2，)，cos 45，原式75.(2)由 tan Atan Btan Atan B1，可得 tan Atan
6、 B1tan Atan B1，即 tan(AB)1，又 AB(0，)，所以 AB34，则 C4，cos C 22.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值(1)(2016全国丙卷)若 tan 34，则 cos22sin 2 等于()A.6425B.4825C1D.1625(2)计算sin 110sin 20cos2155sin2155的值为()A12B.12C.32D 32答案(1)A(2)B解析(1)tan 34，则 cos22sin 2cos22sin 2cos2sin214tan 1tan2 6425.
7、(2)sin 110sin 20cos2155sin2155sin 70sin 20cos 310cos 20sin 20cos 5012sin 40sin 40 12.题型二 和差公式的综合应用命题点 1 角的变换例 2(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525(2)已知 cos(6)sin 45 3，则 sin(76)的值是答案(1)A(2)45解析(1)依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin245.又，均为锐角，所以 0cos()因为45 55 45，所以 cos()
8、45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.(2)cos(6)sin 45 3，32 cos 32sin 45 3，3(12cos 32 sin)45 3，3sin(6)45 3，sin(6)45，sin(76)sin(6)45.命题点 2 三角函数式的变形例 3(1)化简：1sin cos sin 2cos 222cos(0)；(2)求值：1cos 202sin 20 sin 10(1tan 5tan 5)解(1)由(0，)，得 020，22cos 4cos222cos 2.又(1sin cos)(sin 2cos 2)(2sin
9、2cos 22cos22)(sin 2cos 2)2cos 2(sin22cos22)2cos 2cos.故原式2cos 2cos 2cos 2cos.(2)原式2cos21022sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5)cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10cos 102sin30102sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3
10、sin 102sin 10 32.引申探究化简：1sin cos sin 2cos 222cos(0)解 020，6(6，2)，sin(6)35.sin(2 12)sin2(6)4sin 2(6)cos 4cos 2(6)sin 4 2sin(6)cos(6)22 2cos2(6)1 23545 22 2(45)2112 225 7 250 17 250.(2)cos310sin5sin3102sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5sin cos cos5sin5sin cos cos5sin52sin5cos5cos5sin52sin5cos
11、5cos5sin53sin5sin53，故选 C.答案(1)17 250 (2)C1(2015课标全国)sin 20cos 10cos 160sin 10等于()A 32B.32C12D.12答案 D解析 sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 3012.2(2016全国甲卷)若 cos4 35，则 sin 2 等于()A.725B.15C15D 725答案 D解析 因为 sin 2cos22 2cos24 1，又因为 cos4 35，所以 sin 22 9251 725，故选 D.3已知 sin 223，则
12、cos24 等于()A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为 cos24 1cos 2421cos2221sin 22，所以 cos24 1sin 221232 16，故选 A.4(2016东北三省三校联考)已知 sin cos 13，则 sin2(4)等于()A.118B.1718C.89D.29答案 B解析 由 sin cos 13，两边平方得 1sin 219，解得 sin 289，所以 sin2(4)1cos2221sin 221892 1718.5.2cos 10sin 20sin 70的值是()A.12B.32C.3D.2答案 C解析 原式2cos3020sin 20si
13、n 702cos 30cos 20sin 30sin 20sin 20sin 70 3cos 20cos 20 3.6(2016江西九校联考)已知锐角，满足 sin cos 16，tan tan 3tan tan 3，则，的大小关系是()A4B4C.4D.40，4.又 tan tan 3tan tan 3，tan()tan tan 1tan tan 3，3，又 4，4.7(2016江西玉山一中模拟)已知，为锐角，且 sin sin 12，cos cos 12，则 tan().答案 73解析 sin sin 12，cos cos 12，(sin sin)2(cos cos)212，22(cos
14、cos sin sin)12，cos()cos cos sin sin 34，tan()73.8已知 tan(4)3，则 sin 22cos2 的值为答案 45解析 tan(4)3，1tan 1tan 3，解得 tan 12.sin 22cos2sin 2cos 21 2sin cos sin2cos2cos2sin2sin2cos21 2tan 1tan21tan21tan214535145.9已知 sin()cos cos()sin 35，是第三象限角，则 sin(54).答案 7 210解析 依题意可将已知条件变形为sin()sin 35，sin 35.又 是第三象限角，因此有 cos
15、45.sin(54)sin(4)sin cos 4cos sin 47 210.10.(2016宝鸡模拟)已知 cos(4)cos(4)14，则 sin4cos4 的值为答案 58解析 因为 cos(4)cos(4)(22 cos 22 sin)(22 cos 22 sin)12(cos2sin2)12cos 214.所以 cos 212.故 sin4cos4(1cos 22)2(1cos 22)2 116 91658.11已知(0，2)，tan 12，求 tan 2 和 sin(23)的值解 tan 12，tan 2 2tan 1tan221211443，且sin cos 12，即 cos
16、2sin，又 sin2cos21，5sin21，而(0，2)，sin 55，cos 2 55.sin 22sin cos 2 55 2 55 45，cos 2cos2sin2451535，sin(23)sin 2cos 3cos 2sin 3451235 32 43 310.12已知 2，且 sin 2cos 2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值解(1)因为 sin 2cos 2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 32.(2)因为2，2，所以2，故22.又 sin()35，得 cos()45.cos cos()cos cos(
17、)sin sin()32 4512354 3310.13.(2016合肥质检)已知 cos(6)cos(3)14，(3，2)(1)求 sin 2 的值；(2)求 tan 1tan 的值解(1)cos(6)cos(3)cos(6)sin(6)12sin(23)14，即 sin(23)12.(3，2)，23(，43)，cos(23)32，sin 2sin(23)3sin(23)cos 3cos(23)sin 312.(2)(3，2)，2(23，)，又由(1)知 sin 212，cos 2 32.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 22 32122 3.
