1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【知识重温】一、必记6个知识点1平面的基本性质表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2_的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公共直线l，且Pl2.空间两条直线的位置关系(1)位置关系分类：(2)平行公理(公理4)和等角定理：平行公理：平行于同一条直线的两条直线_.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_.(3)异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作
2、直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：_.3空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交_1个平行_0个在平面内_无数个平面与平面平行_0个相交_无数个4.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直5异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线6确定平面的三个推论(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(2)两条相交直线确定一个平
3、面(3)两条平行直线确定一个平面二、必明2个易误点1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面
4、()二、教材改编2下列命题正确的是()A三点确定一个平面B一条直线和一个点确定一个平面C圆心和圆上两点可确定一个平面D梯形可确定一个平面3下列命题中正确的是()A若直线l上有无数个点不在平面内，则lB若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行C如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行D若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点三、易错易混4设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么()A直线l不平行于直线mB直线l与直线m异面C直线l与直线m没有公共点D直线l与直线m不垂直5若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列
5、结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行 DOB与O1B1不一定平行四、走进高考62018全国卷在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.平面的基本性质互动讲练型例1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG：GCDH：HC1：2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线悟技法1.证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这
6、两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.变式练(着眼于举一反三)1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点考点二异面直线的判定自主练透型12019全国卷如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线B
7、M，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线22021江西景德镇模拟将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A相交且垂直B相交但不垂直C异面且垂直 D异面但不垂直3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序
8、号都填上)悟技法异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.考点三异面直线所成的角互动讲练型例2(1)2018全国卷在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.(2)2021河南省豫北名校高三质量考评已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，且AA1AB，E为A1B1上一点，A1E2EB1，则异面直线AE
9、与BC所成角的余弦值为()A. B. C. D.悟技法求异面直线所成的角的三步曲提醒在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.变式练(着眼于举一反三)22021惠州市高三调研考试试题在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，AA11，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为()A0 B. C. D.第三节空间点、直线、平面之间的位置关系【知识重温】过不在一条直线上一条相交平行任何一个平面平行相等或互补锐角(或直角)aAaal【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：因为梯形有一组对边平行，所以梯形可以确定一
10、个平面，故选D.答案：D3解析：A中若直线l上有无数个点不在平面内，则l或l与相交，故A错；B中若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线平行或异面，故B错；C中如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故C错，D对故选D.答案：D4解析：直线l与平面平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面无公共点，又直线m在平面上，直线l与直线m没有公共点，故选C.答案：C5解析：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.答案：D6.解析：如图，因为ABCD，所以AE与CD所成的角为EAB.在RtABE中，设AB2，则BE，则tanEAB，所以
11、异面直线AE与CD所成角的正切值为，故选C.答案：C课堂考点突破考点一例1证明：(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线变式练1证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，FEA1B且EFA1B.A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C，FED1C，EF与CD1可确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面(2)由(1)知E
12、FCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，直线CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1，又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点考点二1解析：取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP，CP，所以BM2MP2BP2()2()2227，得BM，所以BMEN.连接B
13、D，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B.答案：B2解析：在题图1中，ADBC，故在题图2中，ADBD，ADDC，又因为BDDCD，所以AD平面BCD，又BC平面BCD，D不在BC上，所以ADBC，且AD与BC异面，故选C.答案：C3解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线答案：考点三例2解析：(1)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1
14、B1A1.连接B1B，由长方体性质可知，B1BAD1，所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB，由题意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故选C.(2)如图，在A1C1上取一点D，使A1D2DC1，连接AD，DE，结合A1E2EB1知DEB1C1.又B1C1BC，所以DEBC，所以AED为异面直线AE与BC所成的角设AA1AB3，则A1DDEA1E2，所以ADAE，则在等腰三角形ADE中，cosAED，故选A.答案：(1)C(2)A变式练2解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接CF，AC，EF，AD1，则BCB1C1EF，且BCB1C1EF，所以四边形BCFE为平行四边形，所以BECF，则异面直线AF与BE所成的角，即直线AF与CF所成的角，即AFC或其补角设AFC.AC，CF，AF.在ACF中，由余弦定理可得，cos 0，故选A.答案：A
