1、 导数及其应用12015天津卷 已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_22015全国卷 已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2，7)，则 a_32015陕西卷改编 函数yxex在(1，)处的切线方程为_42015福建卷改编 已知函数f(x)ln x，则函数f(x)的单调递增区间为_52014福建卷改编 已知函数f(x)ex2x，则函数f(x)的极小值为_62013江苏卷改编 设函数f(x)exax(其中a为正实数)在(1，)上有最小值，则a的取值范围为_72014湖北卷改编 比较大小：_(为圆周率
2、)82014辽宁卷改编 当x(0，1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_考点一导数的几何意义题型：选择、填空分值：5分难度：简单 热点：导数的几何意义1 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)_(2)2015全国卷 已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_听课笔记 小结 函数在某点的导数值就是对应曲线在该点的切线斜率，这是导数的几何意义，所以与此有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数等式题 已知f(x1)x1ex1，则函数f(x)在点(0，f(0)处的切线l与
3、坐标轴围成的三角形的面积为()A. B. C1 D2考点二函数的单调性与极值、最值题型：解答题分值：510分难度：较难 热点：单调性与极值、最值考向一判断函数的单调性2 已知函数f(x)ax22xln x.(1)当a0时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在区间，2上是增函数，求实数a的取值范围听课笔记 小结 对含有参数的函数，已知其单调性求参数范围，在利用导数求解时，要注意导数等于0的情况，如本题第(2)问，函数f(x)为增函数，则应是f(x)0，而不是f(x)0，否则参数a的取值范围会少一个值式题 已知函数f(x)aln xax(aR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若
4、函数yf(x)的图像在点(，f()处的切线的倾斜角为135，且对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2f(x)在区间(t，3)上不是单调函数，求m的取值范围考向二求函数的极值3 已知函数f(x)2ax(2a)ln x(a0)(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)当a0时，讨论f(x)的单调性听课笔记 小结 利用导数研究函数的极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点的两侧导数的符号，确定其是否为极值点，是极值点时，再确定是极大值点还是极小值点式题 已知e为自然对数的底数，设函数f(x)xex，则()Ax1是f(x)的极小值点 Bx1是f(x)的极小值点Cx1是f(
5、x)的极大值点 Dx1是f(x)的极大值点考向三求函数的最值4 已知函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，f(x)在x处取得极值，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直(1)求a，b，c的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)在1，3上的最值听课笔记 小结 求函数在指定区间上的最值，一般步骤是先对函数求导，确定单调区间、确定极值，再将极值与所求区间的函数的端点值比较，从而得出函数在该区间的最大值和最小值 高考易失分题6 利用导数求解函数最值的含参问题范例 2015全国卷 已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且
6、最大值大于2a2时，求a的取值范围失分分析 (1)讨论单调性时，对a分类不全，容易忽略a0时的情况；(2)由于有参数a，所以需要分类讨论函数f(x)的最大值；(3)由不等式ln aa11时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)听课笔记 小结 利用导数方法证明不等式在给定区间上的恒成立问题，一般先将待证不等式如f(x)g(x)的形式，转化为f(x)g(x)0的形式，再设h(x)f(x)g(x)，进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题不过由于不等式呈现的形式多样，具体求解时还要灵活多变式题 已知函数f(x)与函数g(x)ln x在点(1，0)处有公共的切线(1)求函数
7、f(x)的解析式；(2)求证：g(x)f(x)在1，)上恒成立考向二构建函数解决不等式证明问题6 若0x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2 Dx1ex1bc BbacCcba Dcab考向三确定双变量不等式中参数值或范围7 设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意a(3，4)及任意x1，x21，2，恒有mln 2|f(x1)f(x2)|成立，求实数m的取值范围听课笔记 小结 确定不等式中的参数的范围，一般是先分离参数，即转化为af(x)(或af(x)的形式，再利用导数求出函数f(x)的最大值或最小值，从而得出参数a的范围导
8、数及其应用 核心知识聚焦13解析 f(x)aln xa.因为f(1)3，所以a3.21解析 因为f(x)3ax21，所以函数在点(1，f(1)，即点(1，2a)处的切线的斜率kf(1)3a1.又切线过点(2，7)，则经过点(1，2a)，(2，7)的直线的斜率k，所以3a1，解得a1.3y解析 y(x1)ex，当x1时，y0，即函数在点(1，)处的切线斜率为0，故所求切线方程为y.4.解析 f(x)x1，x(0，)由f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.52ln 4解析 f(x)ex2x，则f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)0，f(x)单调递减；当
9、xln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4.6(e，)解析 由f(x)exa0，得xln a，当xln a时，f(x)ln a时，f(x)0.又因为f(x)在(1，)上有最小值，所以ln a1，得ae，即a的取值范围为(e，)70)，则f(x).当xe时，f(x)3e，所以f()f(3)，即.86，)解析 当0x1时，a，令f(x)(00时，x；当f(x)0时，得0x0，得x，显然不合题意；若a0，函数f(x)在区间，2上是增函数，f(x)0对x，2恒成立，即不等式ax22x10对x，2恒成立，即a(
10、1)21对x，2恒成立，故a(1)21max3，实数a的取值范围为a3.变式题解：(1)因为a2，所以f(x)2x2ln x(x0)，所以f(x)2，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)(2)f(x)a，则由题可知f()a1，所以f(x)ln xx，f(x)1，所以g(x)x3(1)x2x，g(x)3x2(m2)x1.因为对于任意t1，2，g(x)在区间(t，3)上不是单调函数，且g(0)1，所以所以解得m0)由f(x)0，解得0x，由f(x)，f(x)在(0，)上是增函数，在(，)上是减函数f(x)的极大值为f()2ln 22，无极小值(2)f(x)2ax(2a)l
11、n xf(x)2a(2a).当0a2时，f(x)在(0，)和(，)上是增函数，在(，)上是减函数变式题B解析 f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.故函数f(x)在x1处取得极小值例4解：(1)函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，c0.f(x)3ax2b，且f(x)ax3bx(a0)在x处取得极值，6ab0.又直线x6y70的斜率为，f(1)3ab6，a2，b12.故a2，b12，c0.(2)由(1)知f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，列表如下：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极小值极大值函数f(x)的单调递
12、增区间是(，)，单调递减区间是(，)和(，)f(1)10，f()8，f(3)18，f(x)在1，3上的最大值是8，最小值是18. 高考易失分题6 范例解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x(0，)时，f(x)0；当x(，)时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f()ln()a(1)ln aa1.因此f()2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，又g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)高考预测解：(1)易知函数f
13、(x)的定义域为(0，)，f(x).当a0时，x0，xa0，f(x)0，f(x)在定义域(0，)上单调递增当a0时，若xa，则f(x)0；若0xa，则f(x)0.函数f(x)的单调递增区间为(a，)，单调递减区间为(0，a)(2)f(x)1，即ln x1，即ln x1，即axln xx，则有axln xx对任意x(0，e恒成立令g(x)xln xx，x(0，e，则g(x)ln x，所以由g(x)ln x0得x1，g(x)在(0，1上单调递增，在(1，e上单调递减，g(x)maxg(1)1，a1.考点三导数与函数、不等式的综合问题例5解：(1)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有F
14、(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10，解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在(1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)综上，k的取值范围是(，1)变式题解：(1)由g(1)0，g(1)，得f(1)0，f(1)，f(1)0，即ab.又f(x)，f(1)，a1，b1，f(x).(2)证明：由已知得ln x在1，)上恒成立，即x2ln
15、xln x2x20在1，)上恒成立设h(x)x2ln xln x2x2，x1，)，则h(x)2xln xx2，x1，2xln x0，x2(当且仅当x1时等号成立)，h(x)0，h(x)在1，)上单调递增，h(x)h(1)0，g(x)f(x)在1，)上恒成立例6C解析 依题可构造函数f(x)，则f(x).当x(0，1)时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以由0x1x2f(x2)，即x2ex1x1ex2，故选C.变式题C解析 构造函数f(x)，则f(x).当x2时，f(x)0，即函数f(x)在(2，)上是增函数，f(6)f(7)f(8)af(6)，bf(7)，cf(8)，abc.
16、例7解：(1)易知f(x)的定义域为(0，)，f(x)(1a)xa.当1，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数当02时，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1，即1a2时，令f(x)0，得0x；令f(x)0，得1x2时，f(x)在(0，)和(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增；当1aln 2.又3a.由3a4易得00，函数f(x)在区间(1，2)上不单调，求a的取值范围解：(1)f(x)x2xln x(x0)，则f(x)2x1，x0，所以当0x1时，f(x)1时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)上单调递减，在1，)上单调递增(2)f(x)2x1，由f(x)0，得x1
17、，x2(舍)因为函数f(x)在区间(1，2)上不单调，所以1x12，即12，解得1ag(x)1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)当m1时，f(x)ln x，x0，f(x)，x0，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0xg(x)1对任意x，1成立令h(x)f(x)g(x)1ln xx2m1，x，1，则h(x)1，x，1，m(，1)，在二次函数y2x22xm中，48m0，2x22xm0对xR恒成立，h(x)0对x，1恒成立，h(x)minh(1)ln 112m1m20，即m.故存在m(，1)，使得f(x)g(x)对任意x，1恒成立例4(配听课例4、例5使用)已知函数f(
18、x)exax1(a0，e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)0对任意的xR恒成立，求实数a的值解：(1)由题知f(x)exa，由f(x)exa0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，f(x)在xln a处取得极小值，且为最小值，故其最小值为f(ln a)eln aaln a1aaln a1.(2)f(x)0对任意的xR恒成立，即f(x)min0.由(1)可知f(x)minaaln a1，设g(a)aaln a1，则g(a)0.由g(a)1ln a1ln a0，得a1，易知g(a)在区间(0，1
19、)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，g(a)在a1处取得极大值，且为最大值又g(1)0，因此g(a)0的解为a1，a1.例5(配听课例5，例7使用)已知f(x)xln xax，g(x)x22，(1)对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立解：(1)对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，对一切x(0，)，xln xaxx22恒成立，即对一切x(0，)，aln xx恒成立令F(x)ln xx，则F(x)，当0x1时，F(x)0；当x1时，F(x)0.F(x)在x1处取得极小值，也是最小值，即F(x)minF(1)3，a3.(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立，等价于对一切x(0，)，xln xx成立当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2，由f(x)0得x，当x(0，)时，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)在x处取得极小值，也是最小值，即f(x)minf().设G(x)(x(0，)，则G(x)，易知G(x)maxG(1).，对一切x(0，)，都有ln x1成立