1、2022高考数学真题分类汇编六、数列一、选择题1.（2022全国乙（文）T10）已知等比数列的前3项和为168，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.2.（2022全国乙（理）T8） 已知等比数列的前3项和为168，则（ ）A. 14B. 12C. 6D. 3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则
2、，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.3.（2022全国乙（理）T4） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，依此类推，其中则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为，所以，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.4.（2022新高考卷T3） 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现如图是某古建筑物的剖面图，是举， 是相
3、等的步，相邻桁的举步之比分别为，若是公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D5.（2022浙江卷T10） 已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式变形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放缩可得出【详解】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B【点睛】
4、关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、填空题1.（2022全国乙（文）T13）记为等差数列的前n项和若，则公差_【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.2.（2022北京卷T15） 己知数列各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3； 为等比数列；为递减数列； 中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】推导出，求出、的值，可判断；利用反证法可判断；利用数列单调性的定义可判断.【详解】由题意可知，当时，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得，因为，解得，对；假设数
5、列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不等比数列，错；当时，可得，所以，数列为递减数列，对；假设对任意，则，所以，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题1.（2022全国甲（文T18）(理T17）记为数列的前n项和已知（1）证明：是等差数列；（2）若成等比数列，求的最小值【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得【小问
6、1详解】解：因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列【小问2详解】解：由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时2.（2022新高考卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列（1）求的通项公式；（2）证明：【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【小问1详解】，,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；【小问2详解】
7、3.（2022新高考卷T17）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素个数【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出【小问1详解】设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证【小问2详解】由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为 4.（2022北京卷T21） 已知为有穷整数数列给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列（1）判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；（2）若为连续可表数列，求证：k的最小值为
8、4；（3）若为连续可表数列，且，求证：【答案】（1）是连续可表数列；不是连续可表数列 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑不符合，再列举一个合题即可；（3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可【小问1详解】，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列【小问2详解】若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾；当时,数列，满足， 【小问3详解】，若最多有种，若，最多有种，所以最多有种，若，则至多可表个数，矛盾,从而若,则，至多可表个数，而，所以其中有负的，从而可表
9、120及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ，则所有数之和，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式），与2相邻，若不在两端,则形式，若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， 同理 ，故在一端，不妨为形式，若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行，则 （有2种结果相同，矛盾），从而，由于,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能，或，这2种情形，对：，矛盾，对：，也矛盾，综上 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值本题第二问时，通过和
10、值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题5.（2022浙江卷T20） 已知等差数列的首项，公差记的前n项和为（1）若，求；（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.【小问1详解】因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小问2详解】因为，成等比数列，所以，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，当时，由，可得当时，又所以