1、2015-2016学年上海市华师大三附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1椭圆+y2=1的焦距为2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为3已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为4若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为5若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是6经过点P（6，4），且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为7已知某圆锥体的底面半径
2、r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是8以下4个命题：1）三个点可以确定一个平面；2）平行于同一个平面的两条直线平行；3）抛物线y2=4x对称轴为y轴；4）同时垂直于一条直线的两条直线一定平行；正确的命题个数为9如图，已知PA平面ABC，ACAB，AP=BC，CBA=30，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为10已知P是抛物线y2=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是1110件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为（结果用最简分数表示）12盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数
3、字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是13如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为14已知AB是椭圆+=1（ab0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，P2009，设左焦点为F1，则（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|）=二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正
4、确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得4分，否则一律得零分15以下四个命题中的假命题是（）A“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”B直线“ab”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”C两直线“ab”的充要条件是“直线a，b与同一平面所成角相等”D“直线a平面”的必要不充分条件是“直线a平行于平面内的一条直线”16设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（）A =1B =1C =1D =117若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种
5、分拆，则集合A=a1，a2，a3的不同分拆种数是（）A27B26C9D818设a、b是关于t的方程t2costsin=0的两个不相等实根，则过A（a，a2）、B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点个数是（）A3B2C1D0三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，每题得分为12+16+16+16+18，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1如图所示（1）求异面直线EF、AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）（理
6、科）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积（文科）求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积20在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？21如图，直三棱柱ABCA1B1C1内接于高为的圆柱中，已知ACB=90，AA1=，BC=AC=1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积；（2）异面直线AB与CO所成的角的大小；（3）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小22如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）PM平面A
7、BCD交AD于点M，MNBD于点N（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）23如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值2015-2016学年上海市华师大三附中高二（下）期
8、中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1椭圆+y2=1的焦距为2【考点】椭圆的简单性质【分析】求出椭圆的几何量，然后求解焦距即可【解答】解：椭圆+y2=1的长半轴a=2，短半轴为b=1，则c=椭圆的焦距为：2故答案为：22如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意连接A1C1，则AC1A1为所求的角，在AC1A1计算出此角的正弦值即可【解答】解：连接A1C1，在长方体
9、ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1B1C1D1，则AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角在AC1A1中，sinAC1A1=故答案为：3已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积为2【考点】棱锥的结构特征【分析】画出满足题意的三棱锥PABC图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积【解答】解：由题意作出图形如图：因为三棱锥PABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，三角形PDF三边长PD=1，DF=，PF=则这个棱锥的侧面积S侧=32=2故答案为：24若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，
10、则该抛物线的准线方程为x=2【考点】抛物线的简单性质【分析】求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得 =2，即可得到结果【解答】解：双曲线的标准形式为：，c=2，双曲线的右焦点为F（2，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合，=2，可得p=4故答案为：x=25若方程+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（2，2）（3，+）【考点】双曲线的标准方程【分析】由已知得（|k|2）（3k）0，由此能求出实数k的取值范围【解答】解：程+=1表示双曲线，（|k|2）（3k）0，解得k3或2k2，实数k的取值范围是（2，2）（3，+）故答案为：（2，2）（3，+）6经
11、过点P（6，4），且被圆x2+y2=20截得的弦长为6的直线方程为x+y2=0或7x+17y+26=0【考点】直线与圆相交的性质【分析】设出过P的直线方程的斜率为k，由垂径定理得：弦的一半、圆的半径、圆心到弦的距离构成直角三角形，根据勾股定理求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式列出斜率的方程，求出即可得到k的值，即可得到直线方程【解答】解：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y+4=k（x6），化简得：kxy6k4=0根据垂径定理由垂直得中点，所以圆心到弦的距离即为原点到所求直线的距离d=即=，解得k=1或k=，所以直线方程为x+y2=0或7x+17y+26=0故答案为：x+y2=0或7x+1
12、7y+26=07已知某圆锥体的底面半径r=3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是36【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长，利用弧长公式计算展开图的半径即圆锥的母线长，代入公式计算得出面积【解答】解：圆锥的底面积S底=32=9，圆锥侧面展开图的弧长为23=6，圆锥侧面展开图的扇形半径为=9圆锥的侧面积S侧=27圆锥的表面积S=S底+S侧=36故答案为：368以下4个命题：1）三个点可以确定一个平面；2）平行于同一个平面的两条直线平行；3）抛物线y2=4x对称轴为y轴；4）同时垂直于一条直线的两条直线一定平行；正确的命题个数
13、为0【考点】抛物线的简单性质；命题的真假判断与应用【分析】1）由平面的性质可得：三个不共线的点可以确定一个平面2）由空间中的两条直线的位置关系可得：这两条直线可能平行、可能异面、可能相交3）由抛物线的性质可得：抛物线y2=4x对称轴为x轴4）空间中的两条直线的位置关系可得：这两条直线可能平行、可能异面、可能相交【解答】解：1）由平面的性质可得：三个不共线的点可以确定一个平面，所以1）错误2）由空间中的两条直线的位置关系可得：平行于同一个平面的两条直线可能平行、可能异面、可能相交，所以2）错误3）由抛物线的性质可得：抛物线y2=4x对称轴为x轴，所以3）错误4）空间中的两条直线的位置关系可得：在
14、空间中同时垂直于一条直线的两条直线可能平行、可能异面、可能相交，所以4）错误故答案为：09如图，已知PA平面ABC，ACAB，AP=BC，CBA=30，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AB中点F，连接DF，EF，则ACDF，EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC与ED所成的角的大小【解答】解：取AB中点F，连接DF，EF，则ACDF，EDF就是异面直线AC与DE所成的角（或所成角的补角）设AP=BC=2，PA平面ABC，ACAB，AP=BC，CBA=30，D、E分别是BC、AP的中点，
15、由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，EF=，ACEF，DFEF在RtEFD中，DF=，DE=，cosEDF=，异面直线AC与ED所成的角为arccos故答案为：arccos10已知P是抛物线y2=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是y2=2x1【考点】抛物线的简单性质【分析】先求焦点坐标，假设动点P的坐标，从而可得中点坐标，利用P是抛物线y2=4x上的动点，可求【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0）设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，设Q（x，y）是PF中点，则：x=，y=，p=2x1，q=2y代入：p2=4q得：y2=2x1故答案为y2=2x11110
16、件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件，则恰好有一件次品的概率为（结果用最简分数表示）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】根据所有的取法共有种，而满足条件的取法有种，从而求得所求事件的概率【解答】解：所有的取法共有种，而满足条件的取法有种，故恰好有一件次品的概率为 =，故答案为：12盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】从盒子里随机摸出两个小球，共有6种结果，“摸出的小球上标有的数字之和为5”的有（1，4）
17、，（2，3）共2种，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：从盒子里随机摸出两个小球，共有6种结果，列举如下：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）；“摸出的小球上标有的数字之和为5”的有（1，4），（2，3）共2种，故“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率P=，故答案为：13如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB=1，BC=2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为【考点】组合几何体的面积、体积问题【分析】由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，
18、利用圆柱和球的体积公式进行计算即可【解答】解：图中阴影部分绕AD旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，两个半球的体积为：2=圆柱的底面半径为1，高为2，圆柱的体积为2=2，该几何体的体积为2=故答案为：14已知AB是椭圆+=1（ab0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，P2009，设左焦点为F1，则（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|）=【考点】椭圆的简单性质【分析】设右焦点为F2，由椭圆的定义可得|F1Pi|+|F2Pi|=2a，（1i2009，iN），点P1，P2，Pn1 关于y轴
19、成对称分布，|F1Pi|+|F1P2010i|=2a，|F1P1005|=a，|F1A|+|F1B|=2a，即可求得|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|的值，求得（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|）=【解答】解：设右焦点为F2，由椭圆的定义可得|F1Pi|+|F2Pi|=2a，（1i2009，iN），由题意知点P1，P2，Pn1 关于y轴成对称分布，|F1Pi|+|F1P2010i|=2a，|F1P1005|=a，|F1A|+|F1B|=2a，|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|=2a10
20、04+2a+a=2011a，（|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P2009|+|F1B|）=，故答案为：二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得4分，否则一律得零分15以下四个命题中的假命题是（）A“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”B直线“ab”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”C两直线“ab”的充要条件是“直线a，b与同一平面所成角相等”D“直线a平面”的必要不充分条件是“直线a平行于平面内的一条直线”【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的
21、位置关系【分析】根据题意，对四个命题进行逐一判定即可【解答】解：选项A：直线a、b是异面直线直线a、b不相交，故正确选项B；a垂直于b所在的平面ab，故正确选项C：ab直线a，b与同一平面所成角相等，两直线“ab”的必要不充分条件是“直线a，b与同一平面所成角相等”，故不正确选项D：直线a平面直线a平行于平面内的一条直线，故不正确故选C16设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（）A =1B =1C =1D =1【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知可设椭圆的标准方程为，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程【解答】解：a=2b，椭圆的一个焦点为，设椭圆的标准方程为，a2b2=
22、3b2=3，故椭圆的标准方程为，故选：A17若集合A1、A2满足A1A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A=a1，a2，a3的不同分拆种数是（）A27B26C9D8【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据拆分的定义，对A1分以下几种情况讨论：A1=，A1=a1，A1=a1，a2，A1=a1，a2，a3【解答】解：A1A2=A，对A1分以下几种情况讨论：若A1=，必有A2=a1，a2，a3，共1种拆分；若A1=a1，则A2=a2，a3或a1，a2，a3，共2种拆分；同理A1=a2，a3时，各有2
23、种拆分；若A1=a1，a2，则A2=a3、a1，a3、a2，a3或a1，a2，a3，共4种拆分；同理A1=a1，a3、a2，a3时，各有4种拆分；若A1=a1，a2，a3，则A2=、a1、a2、a3、a1，a2、a1，a3、a2，a3，a1，a2，a3共8种拆分；共有1+23+43+8=27种不同的拆分故选A18设a、b是关于t的方程t2costsin=0的两个不相等实根，则过A（a，a2）、B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点个数是（）A3B2C1D0【考点】双曲线的简单性质【分析】根据一元二次方程求出a，b的值，求出AB的方程，得到AB是双曲线的渐近线，即可得到结论【解答】解：由t
24、2costsin=0得t（tcossin）=0，则t=0或t=tan，a、b是关于t的方程t2costsin=0的两个不相等实根，不妨设a=0或b=tan，则A（0，0），B（tan，tan2），则AB的斜率k=tan，即AB的方程为y=tanx，而双曲线=1的渐近线方程为y=tanx，则AB是双曲线=1的一条渐近线，过A（a，a2）、B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点个数是0个，故选：D三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，每题得分为12+16+16+16+18，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=
25、4，BC=3，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1如图所示（1）求异面直线EF、AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）（理科）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积（文科）求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF、AC1所成角（2）（理科）由=（0，2，0），=（，4，0），求出SAEF，由此能求出以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积（2）（文科）由SBEF=，能求出以E、B、F、P
26、为顶点的三棱锥的体积【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得E（3，2，0），F（，4，0），A（3，0，0），C1（0，4，4），=（，2，0），=（3，4，4），设异面直线EF、AC1所成角为，则cos=|cos|=|=，=arccos（2）（理科）=（0，2，0），=（，4，0），|=2，|=，cos=，sin=，SAEF=，以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积：VPAEF=2（2）（文科）SBEF=，以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积：VPBEF=220在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C（1
27、）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；（2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0，然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2c2=1故轨迹C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+
28、2kx3=0由=16k2+480，可得：，再由，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，所以，21如图，直三棱柱ABCA1B1C1内接于高为的圆柱中，已知ACB=90，AA1=，BC=AC=1，O为AB的中点求：（1）圆柱的全面积；（2）异面直线AB与CO所成的角的大小；（3）求直线AC与平面ABBA所成的角的大小【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（1）求出底面半径为：r=，即可求圆柱的全面积；（2）利用CO平面ABBA，即可求出异面直线AB与CO所成的角的大小；（3）判断CAO为直线AC与平面ABBA所成的角，即可求直线AC与平面ABBA所成的角的大小【解答】
29、解：（1）根据题意：底面半径为：r=，S=2r2+2rh=3；（2）CO平面ABBACOABCOO=90异面直线AB与CO所成的角是90；（3）CO平面ABBA，CAO为直线AC与平面ABBA所成的角，CO=，AC=，sinCAO=，CAO=arcsin22如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为面ADD1A1的对角线AD1上的动点（不包括端点）PM平面ABCD交AD于点M，MNBD于点N（1）设AP=x，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与A1C1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常
30、用方法【分析】（1）求出PM，AM，运用余弦定理，求得PN；（2）求出PN的最小值，由于MNAC，又A1C1AC，PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，通过解直角三角形PMN，即可得到【解答】解：（1）在APM中，； 其中； 在MND中，在PMN中，；（2）当时，PN最小，此时因为在底面ABCD中，MNBD，ACBD，所以MNAC，又A1C1AC，PNM为异面直线PN与A1C1所成角的平面角，在PMN中，PMN为直角，所以，异面直线PN与A1C1所成角的大小23如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点
31、，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由F2（2，0），F3（6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x22mx+（m2a2）=0，利用0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可（3）由（1）知，曲线C1：，点F4
32、（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】（1）解：F2（2，0），F3（6，0），解得，则曲线的方程为和（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x22mx+（m2a2）=0，=4m28（m2a2）0，解得又由数形结合知设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，=，即点M在直线y=上（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0），化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，=（48n）2464（5+4n2）0，化为n21设C（x3，y3），D（x4，y4），|y3y4|=，=，令t=0，n2=t2+1，=，当且仅当t=，即n=时等号成立n=时， =2017年1月4日
