1、第二章 平面向量23 平面向量的基本定理及坐标表示 23.1 平面向量基本定理 1准确理解平面向量的基本定理 2理解能成为向量基底的条件是不共线 3理解向量的夹角前提条件是共起点 4理解平面向量的正交分解 基 础 梳 理一、平面向量的基本定理1如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1、2，使 a_1e12e22我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底练习 1：已知 10，20，e1、e2 是一组基底，且 a1e12e2，则 a 与 e1 不共线，a 与 e2 不共线(填共线或不共线)来源:Z.xx.k.C
2、om 练习 2：已知 a、b 不共线，且 c1a2b(1，2R)，若 c 与 b共线，则 10 思考应用1平面内的基底是不是唯一的？解析：平面内的基底可以有无数多个，只要两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底 二、向量的夹角1不共线向量的夹角显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量 a，b，作OA a，OB b，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角来源:学科网2共线向量的夹角当 0时，表示 a 与 b 同向；当 180时，表示 a 与 b 反向3垂直向量如果 a 与 b 的夹角是 90就称 a 与 b 垂直，记作 ab.思考应用2向量的夹角与直线
3、的夹角有什么不同？向量OA 与OB 的夹角与向量OA 与BO 的夹角相同吗？解析：不同向量的夹角的范围为0，180，而直线的夹角范围为0，90设向量OA 与OB 的夹角为，则向量OA 与BO 的夹角为.自 测 自 评 1下面四种说法中，正确的是(B)一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量 a 和一组基底 e1，e2，使 a1e12e2成立的实数对一定是唯一的 A BCD 2设 O 是平行四边形 ABCD 的两对角线的交点，下列向量组：AD 与AB；DA 与BC
4、；CA 与DC；OD 与OB.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是(B)A B C D 3设 e1，e2为两个不共线的向量，若 a2e1e2与 be1e2(R)共线，则(B)A0 B12 C1 D2 4已知 a，b 是两个不共线的向量，m，nR 且 manb0，则(C)Aa0 且 n0 Bm，n 的值不确定 Cmn0 Dm，n 不存在 基 础 提 升1如果 e1、e2 是平面 内所有向量的一组基底，那么(A)A若实数 1、2 使 1e12e20，则 120B空间任一向量 a 可以表示为 a1e12e2，这里 1、2 是实数C对实数 1、2，1e12e2 不一定在平面 内来源
5、:Z_xx_k.ComD对平面 中的任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1、2 有无数对2如果 3e14e2a，2e13e2b，其中 a，b 为已知向量，则 e1_，e2_答案：3a4b 2a3b3设 e1，e2 是平面内一组基底，如果AB 3e12e2，BC 4e1e2，CD 8e19e2，则共线的三点是(C)AA、B、CBB、C、DCA、B、DDA、C、D来源:学科网4设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(B)Ae1e2 和 e1e2B3e12e2 和 4e26e1Ce12e2 和 e22e1De2 和 e1e2解析：4e26e12(3e12
6、e2)，3e12e2与 4e26e1 共线，故选 B.5已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则 xy_解析：由题意，得 3x4y6 且 2x3y3，解得 x6，y3，xy3.答案：3巩 固 提 高6在ABC中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB，CD 13CACB，则 的值为_解析：CD CA AD CA 23AB CA 23(CB CA 23CB 13CA，23.答案：23来源:学#科#网7在三角形 ABC 中，AE 15AB，EFBC 交 AC 于 F 点，设ABa，AC b，试用 a，b 表示向量BF.解析：如图所示，AE 15AB
7、，EFBC 交 AC 于 F 点，BF BE EF 45BA 15BC 45AB 15AC AB AB 15AC a15b.8若 a，b 是两个有相同起点且不共线的非零向量，当 t(tR)为何值时，三向量 a，tb，13(ab)的终点在同一条直线上？解析：设OA a，OB tb，OC 13(ab)，AC OC OA 23a13b，AB OB OA tba.要使 A，B，C 三点共线，则AC AB，即23a13btba，23，13t，解得 t12.当 t12时，三向量终点在同一直线上 9如下图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，ABa.AD b，试用基底 a、b 表示MC，MA，MB 和MD.解析：MC 12AC 12(AB AD 12a12b，MA MC 12a12b，MB 12DB 12(AB AD 12a12b，MD MB 12a12b.1任一平面的直线型图形，根据平面向量的基本定理，都可以表示成某些向量的线性组合，这样要解答几何问题时，就可以把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的2在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，选择了不共线的两个向量 e1，e2，平面上的任何一个向量 a都可以用 e1，e2 唯一表示为 a1e12e2，这样的几何问题转化为代数问题，转化为只含有基底的代数运算
