1、高三数学第二轮专题复习系列(2)- 函数 一、本章知识结构：函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用初等函数基本初等函数：指数函数对数函数对数指数映射函数射二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质掌握对数函数的概念、图像和性质（6）能够运用函数的性质、指数函数和对
2、数函数的性质解决某些简单的实际问题三、热点分析 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。四、复习建议1. 认真落实本章的每个
3、知识点，注意揭示概念的数学本质函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的
4、关联及其图像间的对称关系。2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系 要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。所谓函数思想，实质上是将问题放到动
5、态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。五、典型例题【例1】 设，则= 1 。解：由=0，解得【例2】 已知函数和定义在R上的奇函数，当x0时，试求的反函数。解： 【例3】 已知函数是奇函数，又，求a、b、c的整数值。解：由，又由，从而可得a=b=1；c=0【例4】 已知，求在上的最小值为；试写出的解析式。解：， （）【例5】 已知函数，若的最大值为n，求的表达式。解： 【例6】 设是R上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求a的取值范围。解：故为所求。【例7】 比较的大小。解：作差比较大小:当m 1或0 m 0故。【例8】 设。（1）证明在上是增函数
6、；（2）求及其定义域解：（1）任取，且是增函数，在上是增函数（2）；定义域R，值域（1, 1）反解：【例9】 定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围（4）试举出一个满足条件的函数解：（1）在中，令得：因为，所以，（2）要判断的单调性，可任取，且设在已知条件中，若取，则已知条件可化为：由于，所以为比较的大小，只需考虑的正负即可在中，令，则得 时， 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均有 函数在R上单调递减（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子，即由，所以，直线与圆面无公共点所以，解
7、得：（4）如六、专题练习一、选择题1已知四个函数：y=10x y=log0.1x y=lg(-x) y=0.1x，则图象关于原点成中心对称的是：（C） A仅为和 B仅为和 C仅为和 D仅为和2设f(x)=(x+1)，（1）= 。（1）3已知，定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)= f(x)；（2）f(4+x)= f(x)；若当 x0，2时，f(x)=+1，则当x-6，-4时，f(x)等于 （ D ） （A） （B） （C） （D）4已知f(x)=2 x+1，则的值是 （ A ） （A） （B） （C） （D）55已知函数f(x)=+a且f(-1)=0，则的值是 （ A ） （A
8、）0 （B）2 （C）1 （D）-16函数（x0）的反函数是 （ A ） （A） （B）y= （C）y （C）y7函数f(x)的反函数为g（x），则下面命题成立的是 （ A ） （A）若f(x）为奇函数且单调递增，则g（x）也是奇函数且单调递增。 （B）f(x）与g（x）的图像关于直线x+y=0对称。 （C）当f(x）是偶函数时，g（x）也是偶函数。 （D）f(x)与g(x)的图像与直线一定相交于一点。8若函数y=f(x)的图像经过点（0，1），则函数y=f(x+4)的反函数的图像必经过点 （ A ） （A）（1，-4） （B）（4，1） （C）（-4，1） （D）（1，4）9若函数在区间 上
9、是减函数，则实数a的取值范围是( B )AB C D 10将函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数的解析式为( C )AB C D 11二次函数中，且，对任意，都有，设，则（ B ）ABCD的大小关系不确定12函数的值域为（ B ）ABCDR13已知在上是x的减函数，则a的值取范围是（ B ）A(0, 1)B(1, 2)C(0, 2)D二、填空题1函数 的定义域是。（）2函数的单调递增区间是3函数的定义域是三、解答题1集合，B=。若，求实数m的取值范围。解：由，由题设知上述方程在内必有解。所以： 若在只有一个解，则若在只有二个解，则由知：2设两个方程和有一公共根，问：a与b
10、之间有什么关系；当，时，求的最大值与最小值。解：两方程相减得：，显然，否则两方程为同一方程。所以，代入方程得：且；所当或时，；而当时，所以无最小值。3当时，比较与的大小。解：当时，当时，当时，4x为何值时，不等式成立。解：当时，当时，故时，时，为所求。5、已知函数（1）函数在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1） . 因此函数在区间（0，+）上是减函数.（2）（方法1）当时，恒成立，令有又为正整数. 的最大值不大于3.7下面证明当恒成立.即证当时，恒成立.令当取得最小值时，恒成立.因此正整数的最大值为3.（2）（方法2）当时，恒成立
11、，即恒成立.即的最小值大于上连续递增，又存在唯一实根，且满足：由知：的最小值为因此正整数的最大值为3.第2讲一、典型例题【例1】 关于x的不等式232x3x+a2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .解：设t=3x，则t1,3，原不等式可化为a2a32t2+t,t1,3.等价于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3上的最大值.答案：(,1)(2,+)【例2】 设是定义在上的奇函数，的图象与的图象关于直线对称，而当时，（c为常数）。（1）求的表达式；（2）对于任意，且，求证：；（3）对于任意，且，求证：1.解：（1）设g(x)上点与f(x)上点P（x，y）对应， ；在g（x）图象上
12、g(x)定义域为x2,3，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，所以，上述解析式是f(x)在1，0上的解析式f(x)是定义在1,1上的奇函数，f(0)=0，c=4 所以，当x0，1时，x1，0，f(x)=f(x)= 所以 （2）当x0，1时，所以 （3），即 【例3】 已知函数f(x)=(a0, a1) (1) 求反函数f(x)，并求出其定义域。 (2) 设P(n)=)，如果P(n)1时，f(x)=值域为0a1时，x 0a0 (an3n)(3a)n10aa1即【例4】 设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足 存在正常数a，使f(a) = 1，求证：（1）f(x)为奇函数；（2
13、）f(x)为周期函数，且一个周期为4a。证明：（1）令x =x1 - x2 则f( - x) = f ( x2 - x1)= f (x1 x2 )= f (x)，f (x)为奇函数。（2）f( x+a ) = fx ( a ) =f (x+2a )=f ( x+4a)=f (x) f (x)是以4a为周期的周期函数。【例5】 已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为的定义域区间为 (0)是否存在？请说明理由.解：（1）x3或x3.f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，
14、当m1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在上的值域为0m1, f(x)为减函数.即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.【例6】 已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5;(2)对任意实数,恒有f(2+cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m.解： （1）证明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依题意： 又A、B锐角为三角形内两内角A+Btan(A+B)0，即m5
15、(2)证明：f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,当sin=1时，f(sin)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，m=3【例7】 已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有，恒有 。证明（1）的定义域为实数集（2）令【例8】 设=，（a0,a1），求证：（1）过函数y=f(x)图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f(3)3。解：（1）令t=，则x=，f(x)= (tR)
16、f(x)= (xR)设，f()f()=(1)a1时，f()f()，f(x)在(,+)上单调递增(2)0a1时，f()f()，f(x)在(,+)上单调递增时，恒有f()0（2）f(3)=a0，a1 上述不等式不能取等号，f(x)3【例9】 已知函数f(x)=lg(的定义域为（0，+），问是否存在这样的a,b，使f(x)恰在（1，+）上取正值，且f(3)=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。解：由，得，a1b0，1，xlog 又f(x)定义域为（0，+），log=0，K=1，f(x)=lg设01b0，a a，b b0 ab a b，01，lgf(1)=lg(ab) f(x)在（1，
17、+）上取正值，lg(ab)=0 ab=1 (1) 又f(3)=lg4 lg=lg4， =4 (2) 解(1)(2)得：，b=，即有在，b=满足条件【例10】 设二次函数f(x)= ax2 +bx+c (a0且b0)。(1) 已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1，试求f(x)的解析式和f(x)的最小值；(2) 已知f(x)的对称轴方程是x=1，当f(x)的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；(3) 已知|b|0 a=1 c=-1 此时b=+1 f(x)=x2 + x-1于是 f(x)=(x + )2 f(x) (2)依题意即b=-2a，a0且b0 b0
18、c0 b0且b=2a为所求 (3)方法1： |2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|a+b+c|+|a-b+c|2 |b|1 又|b|a| 1 又|c|=|f(0)|1 又|f( 而f(x)所示开口向上的抛物线且|x|1，则|f(x)|的最大值应在x=1或x=-1或x=-时取到，因|f(-1)|1, |f(1)|1, |f(-)| 故|f(x)|得证。 方法2：令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 则f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c ax2 +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c f(x)= 而|f(1)| 1, |f(-1)|1,
19、 |f(0)|1 x-1, 1 =|x|=综上，当|f(0)|1, |f (-1)|1, |f(-1)|1, |x|1时，|f(x)|解法3：我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示. , , . 当时，所以，根据绝对值不等式的性质可得：， 综上，问题获证. 二、专题练习一、选择题1(2005年春考北京卷理2)函数y=|log2x|的图象是（ A ）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO-1-1-1-11111A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO2(2005年春考北京卷文2)函数（ B ）3. (2005年春考上海卷16)设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意
20、，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数 的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值. 这些命题中，真命题的个数是 ( C ) A0个B1个C2个D3个4(2005年高考上海卷理13文13)若函数，则该函数在上是（ A ）A单调递减无最小值 B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值5(2005年高考上海卷理16)设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ C ）A且B且C且D且1yO-116(2005年高考福建卷理5文6)函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ D ）ABC D7(2005年高考福建卷理
21、12)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ D ）A2B3C4D58(2005年高考福建卷文12)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）A5B4C3D29(2005年高考广东卷9)在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ A ）ABCD10(2005年高考湖北卷理4文4)函数的图象大致是（ D ）11(2005年高考湖北卷理6文7)在这四个函数中，当时，使恒
22、成立的函数的个数是（ B ）A0B1C2D312(2005年高考湖南卷理2)函数f(x)的定义域是（A）A，0B0，C（，0）D（，）13(2005年高考湖南卷文3)函数f(x)的定义域是（A）A，0B0，C（，0）D（，）14(2005年高考湖南卷文10)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ B ）A45.606B45.6C45.56D45.5115(2005年高考辽宁卷5)函数的反函数是（ C ）ABCD16(2005年高考辽宁卷6)若，则
23、的取值范围是（ C ）ABCD17(2005年高考辽宁卷7)在R上定义运算若不等式对任意实数成立， 则（ C ）ABCD18(2005年高考辽宁卷10)已知是定义在R上的单调函数，实数，若，则（ A ）ABCD19(2005年高考辽宁卷12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ A ）A B C D 20(2005年高考江西卷理10文10)已知实数a, b满足等式下列五个关系式0baab00abba2a2cB2a2b2cC2c2b2a D2c2a2b 32(2005年高考天津卷理9)设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ A ）A B C D
24、 33(2005年高考天津卷理10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（ B ）AB CD34(2005年高考天津卷文9)若函数在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为(D)AB C(0,+)D 35(2005年高考天津卷文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是(B)A f(1.5)f(3.5)f(6.5)B f(3.5)f(1.5)f(6.5)C f(6.5)f(3.5)f(1.5)D f(3.5)f(6.5)f(1.5)36(2005年高考全国卷理7)设，二次函数的图象下列之一
25、：则a的值为（ C ）A1B1CD37(2005年高考全国卷理8文8)设，函数，则使取值范围是（ B ）ABCD38(2005年高考全国卷文7)的反函数是（ C ）ABCD39(2005年高考全国卷II理3)函数的反函数是（ B ）ABCD40(2005年高考全国卷II文3)函数的反函数是（ B ）ABCD41(2005年高考全国卷理6文6)若，则（ C ）Aabc Bcba Ccab Dbac42(2005年高考全国卷文5)设，则（ A ）A2x1 B3x2 C1x0 D0x1二、填空题1(2005年春考北京卷理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_；若关于的不等式的解集不是空集
26、，则实数的取值范围是_文14仅前一个空2. (2005年春考上海卷1)方程的解集是 . 3. (2005年春考上海卷4)函数的反函数 . 4(2005年高考北京卷理13文13)对于函数定义域中任意的，有如下结论：； 当时，上述结论中正确结论的序号是 .5(2005年高考北京卷文11)函数的定义域为 . 6(2005年高考上海卷理1文1)函数的反函数=_.7(2005年高考上海卷理2文2)方程的解是_. x=08(2005年高考福建卷理16文16)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图象与的图象关于 对称，则函数= 。（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可
27、能的情形）. 如 x轴，3log2x y轴，3+log2(x) 原点，3log2(x) 直线y=x, 2x39(2005年高考广东卷11)函数的定义域是 . x|x010(2005年高考湖北卷文13)函数的定义域是 . 11(2005年高考湖南卷理14文14)设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f (4)0，则f1(4) .212(2005年高考江西卷理13文13)若函数是奇函数，则a= . 13(2005年高考江苏卷13)命题“若，则”的否命题为_。若，则14(2005年高考江苏卷15)函数的定义域为_。15(2005年高考江苏卷16)若，则k =_。-116(
28、2005年高考江苏卷17)已知a，b为常数，若，则_。217(2005年高考浙江卷理11文11)函数y(xR，且x2)的反函数是_18(2005年高考天津卷理16)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_. 019(2005年高考天津卷文15)设函数，则函数的定义域为_(-2,-1)(1,2)21(2005年高考全国卷理13文13)若正整数m满足155三、解答题1（本小题满分12分）(2005年春考北京卷理15)设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N求：（1）集合M，N；（2）集合，本小题
29、主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力满分12分解：（） （） .2（本小题满分12分）(2005年春考北京卷文15)记函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N求：（1）集合M，N；（2）集合，本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力满分12分解：（） （） .3（本小题满分14分）(2005年高考广东卷19)设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.解: (I)由于在闭区间0，7上，只有，故若是奇函数，则，矛盾所以，不是奇函数由,从而知函数是以为周期的函数若是偶函数，则又，从而由
30、于对任意的（3，7上，又函数的图象的关于对称，所以对区间7，11）上的任意均有所以，这与前面的结论矛盾所以，函数是非奇非偶函数 (II) 由第(I)小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且由于函数是以为周期的函数，故所以在区间2000,2000上，方程共有个解在区间2000,2010上，方程有且只有两个解因为，所以，在区间2000,2005上，方程有且只有两个解在区间2010,2000上，方程有且只有两个解因为，所以，在区间2005,2000上，方程无解综上所述，方程在2005,2005上共有802个解.(2005年高考浙江卷理16)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对
31、称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|4(2005年高考浙江卷理16文20)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()(文20)若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解当时，解得因此，原不等式的解集为（）(文20)）5（本小题满分12分）(2005年高考全国卷文19)已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：（）由方程 因为方程有两个相等的根，所以，即 由于代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是6（本小题满分12分）(2005年高考全国卷II理17)设函数的取值范围.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，满分12分解：由于是增函数，等价于（1） 当时，式恒成立。（2） 当时，式化为，即（3） 当时，式无解综上的取值范围是