1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第六节 空间向量及其运算 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直上一页返回首页下一页高三一轮总复习1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫作空间向量(2)单位向量：对于任意一个非零向量 a，把 a|a|叫作向量 a 的单位向量，记作大小方向a0上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)相等向量：
2、方向且模的向量(4)相反向量：方向而相等的向量(5)向量 a，b 的夹角：过空间任意一点 O 作向量 a，b 的相等向量OA 和OB，则AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作a，b，范围是0，当a，b2时，记作 ab；当a，b0 或 时，记作 ab.相同相等相反模上一页返回首页下一页高三一轮总复习(6)平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，则这些向量叫作或平行重合平行向量共线向量上一页返回首页下一页高三一轮总复习2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：空间两个向量 a 与 b(b0)共线的充要条件是存在实数，使 ab.(2)空间向量基本定理如果向量 e1，e2，e3 是空间三个不
3、共面向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1，2，3，使得 a1e12e23e3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律：交换律：abba；分配律：a(bc)abac.(ab)(a)b(R)上一页返回首页下一页高三一轮总复习4空间向量坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 abx1x2y1y2z1z2.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 ababx1x2，y1y2，z1z2(R)(b0)
4、，abab0 x1x2y1y2z1z20.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)模和夹角公式设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)则|a|aa x21y21z21，cosa，b ab|a|b|x1x2y1y2z1z2x21y21z21x22y22z22(a0，b0)上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面()(2)对任意两个空间向量 a，b，若 ab0，则 ab.()(3)若 ab0，则a，b是钝角()(4)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有ABBCCD DA 0.()答案(1)
5、(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2(教材改编)如图 7-6-1 所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 A1C1与 B1D1 的交点若ABa，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是()图 7-6-1A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD.12a12bcA BM BB1 B1M AA1 12(AD AB)c12(ba)12a12bc.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2017福州模拟)O 为空间任意一点，若OP 34OA 18OB 18OC，则 A，B，C，P 四点()A一定不共面B一定共面C不一定共面D无法判断B 由34
6、18181 知，A，B，C，P 四点共面上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2014广东高考)已知向量 a(1,0，1)，则下列向量中与 a 成 60夹角的是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)上一页返回首页下一页高三一轮总复习B 各选项给出的向量的模都是 2，|a|2.对于选项 A，设 b(1,1,0)，则 cos a，b ab|a|b|112 2 12.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项 B，设 b(1，1,0)，则 cos a，b ab|a|b|112 212.因为 0a，b180，所以a，b60，正确 上一页返回首页下一页高三一轮总复习对于
7、选项 C，设 b(0，1,1)，则 cos a，b ab|a|b|112 212.因为 0a，b180，所以a，b120.对于选项 D，设 b(1,0,1)，则 cos a，b ab|a|b|112 21.因为0a，b180，所以a，b180.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5已知向量 a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_.【导学号：57962349】13(ab)(ab)a2b242(2)2(4)262(3)22213.上一页返回首页下一页高三一轮总复习空间向量的线性运算 如图 7-6-2 所示，在空间几何体 ABCD-A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA
8、1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：上一页返回首页下一页高三一轮总复习图 7-6-2(1)AP；(2)MP NC1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)因为 P 是 C1D1 的中点，所以APAA1 A1D1 D1P aAD 12D1C1 ac12ABac12b.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)因为 M 是 AA1 的中点，所以MP MA AP12A1A AP 12aac12b 12a12bc.7 分 因为 N 是 BC 的中点，则NC1 NC CC1 12BCAA1 上一页返回首页下一页高三一轮
9、总复习12AD AA1 12ca，10 分 所以MP NC1 12a12bc a12c 32a12b32c.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算 2首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1 如图 7-6-3 所示，已知空间四边
10、形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG 2GN，若OG xOA yOB zOC，则 xyz_.图 7-6-3上一页返回首页下一页高三一轮总复习56 连接 ON，设OA a，OB b，OC c，则MN ON OM 12(OB OC)12OA 12b12c12a，OG OM MG 12OA 23MN 12a2312b12c12a 16a13b13c.又OG xOA yOB zOC，所以 x16，y13，z13，因此 xyz16131356.上一页返回首页下一页高三一轮总复习共线向量与共面向量定理的应用 (1)(2017佛山模拟)已
11、知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，且 a 与 b 反向，则 _.(2)如图 7-6-4 所示，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1 和 BC上，且满足AM kAC1，BNkBC(0k1)上一页返回首页下一页高三一轮总复习图 7-6-4向量MN 是否与向量AB，AA1 共面？直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)52 ab，且 a 与 b 反向，(6,21,2)k(1,0,2)，k0.6k1，210，22k，解得2，12或3，12，当 2，12时，k2 不合题意，舍去 当 3，12时，a 与 b 反向 因此
12、 31252.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)因为AM kAC1，BNkBC.所以MN MA ABBNkC1A ABkBCk(C1A BC)ABk(C1A B1C1)ABkB1A ABABkAB1 ABk(AA1 AB)(1k)ABkAA1，所以由共面向量定理知向量MN 与向量AB，AA1 共面.6 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习当 k0 时，点 M，A 重合，点 N，B 重合，MN 在平面 ABB1A1 内；当 0k1 时，MN 不在平面 ABB1A1 内，又由知MN 与AB，AA1 共面，所以 MN平面 ABB1A1.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.判
13、定空间三点共线，要结合已知向量从三点中提炼两个共点向量，利用共线向量定理判断，但一定要说明两线有公共点 2证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明PAxPByPC，或对空间任一点 O，有OA OB xPByPC，或OP xOA yOB zOC(xyz1)上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足OM 13(OA OB OC)(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)由已知OA OB
14、OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC).2 分 即MA BM CM MB MC，MA，MB，MC 共面.5 分(2)由(1)知MA，MB，MC 共面且过同一点 M.四点 M，A，B，C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习空间向量数量积及其应用 如图 7-6-5 所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是 AB，CD 的中点图 7-6-5(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值.【导学号：57962350】上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)证明：设AB
15、p，ACq，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三个向量两两夹角均为 60.MN ANAM 12(ACAD)12AB 12(qrp)，上一页返回首页下一页高三一轮总复习MN AB12(qrp)p 12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.3 分 MN AB，即 MNAB.同理可证 MNCD.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)设向量AN与MC 的夹角为.AN12(ACAD)12(qr)，MC ACAM q12p，ANMC 12(qr)q12p 12q212qprq12rp12a212a2cos 60a2cos 6012a2cos 601
16、2a2a24 a22 a24 a22.8 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习又|AN|MC|32 a，ANMC|AN|MC|cos 32 a 32 acos a22.cos 23.向量AN与MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为23.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b(2)坐标法：设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 abx1x2y1y2z1z2.2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)abab0.(2)|a|a2.(3)cosa，b ab
17、|a|b|.上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 如图 7-6-6，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.图 7-6-6(1)求 AC1 的长；(2)求 AC 与 BD1 夹角的余弦值上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)设ABa，AD b，AA1 c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.2 分|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11121212126，|AC1|6，即 AC1 的长为 6.5 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)BD1 bca，ACab，|BD
18、1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1.8 分 cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC|66.AC 与 BD1 夹角的余弦值为 66.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题 3用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范 1在利用MN xAByAC(*)证明 MN平面 ABC 时，必须说明 M 点或 N点不在平面 ABC 内(因为(*)式只表示MN 与AB，AC共面)2向量的数量积满足交换律、分配律，即 abba，a(bc)abac 成立，但(ab)ca(bc)不一定成立 3求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化 上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（四十三）点击图标进入