1、第三节二项式定理【知识重温】一、必记3个知识点1二项式定理(ab)n_.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(r0,1,2，n)叫做_.式中的Canrbr叫做二项展开式的_，用Tr1表示，即展开式的第_项；Tr1_.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)每一项的次数之和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_.(3)字母a按_排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从_，C，一直到C，_.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，
2、即CC.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当_时，二项式系数是递增的；当_时，二项式系数是递减的当n是偶数时，中间的一项_取得最大值当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值(3)二项式系数的和：(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即_2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC_.二、必明3个易误点1要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来2应用通项公式时常用到根式与幂指数的互化，容易出错3通项公式是第r1项而不是第r项【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号
3、中打“”或“”)(1)Canrbr是(ab)n的展开式中的第r项()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不一定相同()二、教材改编2(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80B40C20D103若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10 B20 C30 D120三、易错易混4在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_5(x1)5(x2)的展开式中x2的系数为_四、走进高考62020天津
4、卷在5的展开式中，x2的系数是_考点一求展开式中的指定项或特定项自主练透型1在(2)5的展开式中，x2的系数为()A5B5C10D1022020全国卷(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5 B10 C15 D2032021合肥市高三调研性检测(x1)5展开式中的常数项为()A1 B11 C19 D51悟技法解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.考点二二项式系数或项系数的和问题例1(1)2020郑州高中质量预测在n的展开式中
5、，各项系数和与二项式系数和之比为321，则x2的系数为()A50 B70 C90 D120(2)2020浙江卷二项展开式(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a4_，a1a3a5_.悟技法1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法；只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.变式练(着眼
6、于举一反三)12021福州市高三质量检测若x5a0a1(x2)a2(x2)2a5(x2)5，则a0()A32 B2 C1 D3222021浙江七彩联盟联考若n的展开式中，所有项的二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为()A10 B10 C5 D5考点三二项展开式中的系数最值问题互动讲练型例2(y)6的展开式中二项式系数最大的项为第_项，系数最大的项为_悟技法求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(ab)n中n的奇偶及二项式系数的
7、性质求解若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，An1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果.变式练(着眼于举一反三)32020辽宁营口模拟(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是()A第1项 B第n项C第n1项 D第n项与第n1项考点四证明整除或求余数问题例3设aZ，且0a13，若512 016a能被13整除，则a()A0 B1 C11 D12悟技法利用二项式定理解决整除问题时，基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均
8、能被另一个式子整除即可因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理. 变式练(着眼于举一反三)4今天是星期一，过了22 019天后是星期几？第三节二项式定理【知识重温】CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN*)二项式系数通项r1Canrbrn降幂升幂CC“等距离”kkCnCnCnCCCCC2n1【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：Tk1C(2x)kC2kxk，当k2时，x2的系数为C2240.答案：B3解析：二项式系数之和2n64，所以n6，Tk1Cx6kkCx62k，当62k0，即当k3时为常数项，
9、T4C20.答案：B4解析：因为所有二项式系数的和是32，所以2n32，解得n5.在5中，令x1可得展开式中各项系数的和为(1)51.答案：15解析：(x1)5(x2)x(x1)52(x1)5，展开式中含有x2的项为Cx22Cx220x25x215x2，故x2的系数为15.答案：156解析：二项式5的展开式的通项为Tr1Cx5rrC2rx53r.令53r2得r1.因此，在5的展开式中，x2的系数为C2110.答案：10课堂考点突破考点一1解析：由二项式定理得(2)5的展开式的通项Tr1C()5r(2)rC(2)r ，令2，得r1，所以T2C(2)x210x2，所以x2的系数为10，故选C.答案
10、：C2解析：要求(xy)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(xy)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可，由二项式定理可得(xy)5的展开式中x2y3的系数为C10，x4y的系数为C5，故(xy)5的展开式中x3y3的系数为10515.故选C.答案：C3解析：通解(x1)51(x)5，则其展开式的通项Tk1C(x)k(其中k0,1,2,3,4,5)要求原式展开式中的常数项，则需求(x)k的展开式中的常数项因为(x)k的展开式的通项Tr1Cxkr()r(1)rCxk2r(其中r0,1,2，k)由题意，令k2r0，则k2r，则k是2的倍数，所以k0,2,4，所以该展开式中的常数项为CC
11、CCC11，故选B.优解(cba)n展开式的通项为CCcxbyanxy，所以(x1)5的展开式中的常数项为15CCx()13CCx2()211203011，故选B.答案：B考点二例1解析：(1)令x1，则n4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以2n32，解得n5.二项展开式的通项Tr1Cx5rrC3rx5r，令5r2，得r2，所以x2的系数为C3290，故选C.(2)由二项式定理得，(12x)5展开式的通项公式为Tr1C2rxr，所以a4C2480，a1C2110，a3C2380，a5C2532，所以a1a3a5108032122.答案：(1)C(2)80122变
12、式练1解析：令x2，得a02532.答案：D2解析：由二项式系数之和为32，知2n32，可得n5，Tr1C(2x2)5rr(1)r25rC.令10r0，可得r4，所以常数项为(1)421C10，故选A.答案：A考点三例2解析：因为(y)6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项因为(y)6的展开式的通项公式为Tr1Cy6r()rC(2)rx2ry6r，所以展开式中系数最大的项为奇数项法一设第r1项的系数最大，则因为rZ,0r6，且r为偶然，所以r4，则T5C(2)4x8y2240x8y2，所以展开式中系数最大的项为240x8y2，法二展开式中第1,3,5,7项的系数分别
13、为C(2)0，C(2)2，C(2)4，C(2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x8y2.答案：4240x8y2变式练3解析：在(1x)2n(nN*)的展开式中，第r1项的系数与第r1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n1项，可得第n1项的系数最大，故选C.答案：C考点四例3解析：由于51521，(521)2 016C522 016C522 015C5211，又由于13整除52，所以只需13整除1a,0a13，aZ，所以a12.答案：D变式练4解析：22 019236738673(71)673C7673C7672C7C7(CCC)122019除7后余1，过了22019天后是星期二
