1、黑龙江省安达市重点高中2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题1.已知复数，则其共轭复数（ ）ABCD2.已知向量，则( )A4B5C6D73.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，E为上一点，.若，则的值为（ ） A B C D14.南宋著名数学家秦九韶在其著作数书九章中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”翻译一下这段文字，
2、即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为.若中，内角所对的边分别为，且，则用“三斜求积术”求得的面积为（ ）AB1CD5.三棱柱中，点在上，且，若平面，则（ ）ABCD6.已知是边长为4的等边三角形，且为中点，则（ ）ABCD7.如图，空间四边形的对角线分别为的中点，并且异面直线与所成的角为，则（ ） A3 B4 C5 D68.已知直线两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则9.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六
3、棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ） A B C D10.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰髙程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，满足，.由C点测得B点的仰角为15，与的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面的高度差约为（）( )A.346B.373C.446D.473二、填空题11.已知复数（i为虚数单位）且，则_.12.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_.13.在四面体中，是边长
4、为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面，则四面体的外接球的表面积为_.14.在中，D在边上（不与端点重合）.延长到P，使得.当D为中点时，的长度为_；若（m为常数且），则的长度是_.三、多项选择题15.的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（ ）A B若，则C若，则是等腰三角形 D若，则是等腰三角形16.如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是( )A四点共面B平面平面C直线与所成角的为D平面四、解答题17.已知向量，（1）求向量与的夹角；（2）若，且，求m的值.18.如图，在直三棱柱中，.（1）求证：平面； （2）若D为的中点，求与平面所成角的正弦值.19.如图
5、，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点，求证：（1） 平面；（2） 平面平面20.已知的外接圆的半径为，内角的对边分别为，又向量，且.（1）求角； （2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.21.如图，在直角梯形AEFB中，,，且，直角梯形可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到.（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.22.某农场有一块如图所示的空地，其中半圆O的直径为300米，A为直径延长线上的点米，B为半圆上任意一点，以为一边作等腰直角，其中为斜边（1）若，求四边形的面积；（2）现决定对四边形区域地块进行开发，将区域开发成垂钓中心，预计每平
6、方米获利10元，将区域开发成亲子采摘中心，预计每平方米获利20元，则当为多大时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大？安达市重点高中2020-2021学年高一下学期期末考试数学参考答案1.答案：B2.答案：B3.答案：B4.答案：D5.答案：A6.答案：B7.答案：C8.答案：A9.答案：D10.答案：B解析：本题考查空间几何体、三角变换、正弦定理.由题意可知.在中，由正弦定理可知，则，过B点作于点M，易得，则.11.答案：12.答案：解析：由题意得，圆锥的体积为13.答案：14.答案：. .15.答案：BC16.答案：BC解析：对于A，由图显然是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意
7、平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点O，连接，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC17.答案：解：(1)，由题得，设向量与的夹角为，则，所以，即向量与的夹角为 (2)，解得 解析： 18.答案：（1）证明：由题意知四边形是正方形，由平面得.又，平面.又平面，.又，平面.（2）连接.设.平面， 是与平面所成的角.在等腰直角三角形中，D为斜边的中点，.在中， .，即与平面所成角的正弦值为.解析：19.答案：（1）设与交于点，连接，如图所示：因为分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以平面.又因为平面，所以
8、.又因为，所以.所以平面.又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面.解析：20.答案：（1），且，由正弦定理得：，化简得：.由余弦定理：，.（2），（当且仅当时取“”），所以，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.解析：21.答案：（1）证明：在直角梯形AEFB中，且直角梯形是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得，所以，所以，.所以平面.所以平面平面.（2）由（1）可知,.因为二面角为,所以过点F作平面AEFB的垂线，如图，建立空间直角坐标系.设，则：，.所以，.设平面的法向量为,则即令，则，.于是.所以直线与平面所成角的正弦值.解析：22.答案：（1）当时，平方米；在中，由余弦定理得，；平方米，四边形的面积为平方米；（2）设，则，所以，在中，由余弦定理得，；，不妨设垂钓中心和亲子中心获利之和为y元，则有；化简得；因为，所以当时，垂钓中心和亲子采摘中心获利之和最大