1、课时规范练 23 正弦、余弦定理与解三角形 基础巩固组1.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=3,b=2,A=60,则 c=()A.12B.1C.3D.22.(2020陕西西安中学八模,理9)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且 c=2b,则=()A.32B.43C.2D.33.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若sinsin=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则ABC 的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形4.在ABC 中,B=4,BC 边上的高等于1
2、3BC,则 cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-310105.在ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos A+acos B=c2,a=b=2,则ABC 的周长为()A.7.5B.7C.6D.56.(2020 山东菏泽一中月考,9 改编)在ABC 中,给出下列 4 个命题,其中不正确的命题是()A.若 AB,则 sin Asin BB.若 sin Asin B,则 AB,则1sin2 1sin2D.若 Acos2B7.(2020 湖南郴州二模,文 15)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 c=2,b=1,cos C=1
3、4.则ABC 的中线 AD 的长为 .8.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为,则坡度值 tan=.综合提升组9.(2020 河北保定一模,理 6)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 acos C,bcos B,ccos A成等差数列,若ABC 外接圆的半径为 1,则 b=()A.32B.2C.3D.210.(2020 湖南常德一模,文 9)已知在ABC 中,B=34,AB=1,角 A 的平分线 AD=2,则 AC=()A.3
4、B.23C.3+1D.3+311.(2020 河南开封三模,理 16)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2,c=33,tan A=2tan B,则 cos A=,ABC 的面积为 .创新应用组12.(2020 江苏,13)在ABC 中,AB=4,AC=3,BAC=90,D 在边 BC 上,延长 AD 到 P,使得 AP=9,若=m+(32-)(m 为常数),则 CD 的长度是 .13.(2020 全国 1,理 16)如图,在三棱锥 P-ABC 的平面展开图中,AC=1,AB=AD=3,ABAC,ABAD,CAE=30,则 cosFCB=.参考答案 课时规范练 23
5、 正弦、余弦定理与解三角形1.B 由已知及余弦定理,得 3=4+c2-22c12,整理得 c2-2c+1=0,解得 c=1.故选 B.2.D bsin2A=asinB,则 sinB2sinAcosA=sinAsinB,因为 sinAsinB0,故 cosA=12,且 A(0,),故 A=3.由 c=2b,得 sinC=2sinB=2sin23-C,化简整理得到 cosC=0,且 C(0,),故 C=2,B=6,=sinsin=3212=3.故选 D.3.C 因为sinsin=,所以=,所以 b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以 b2+c2-a2=bc,所以cosA=2+2-22
6、=2=12.因为 A(0,),所以 A=3,所以ABC 是等边三角形.4.C 如图,设 BC 边上的高为 AD,则 BC=3AD.结合题意知 BD=AD,DC=2AD,所以 AC=2+2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得 cosA=2+2-22=22+52-92225=-1010,故选 C.5.D bcosA+acosB=c2,a=b=2,由余弦定理可得b2+2-22+a2+2-22=c2,整理可得 2c2=2c3,解得 c=1,则ABC 的周长为 a+b+c=2+2+1=5.故选 D.6.C 若 AB,则 ab,由正弦定理得 2RsinA2RsinB,所以 sinAsinB,故 A 正确
7、;同理 B 正确;当A=120,B=30时,1sin20,故C 错误;若AB,则 sinAsinB,sin2Asin2B,即 1-cos2Acos2B,故 D 正确.故选 C.7.62 如图,由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 4=a2+1-2a114,解得 a=2 或 a=-32(舍去),所以 CD=12a=1.在ACD 中,AD2=12+12-21114=32,解得 AD=62.8.2315 在ABC 中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.
8、8cos(-),解得 cos=516,则sin=23116,所以 tan=sincos=2315.9.C 由题意,得 2bcosB=acosC+ccosA,由正弦定理,得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB,故 cosB=12,则 B=3.又ABC 外接圆的半径为 1,则 b=2rsinB=3.故选C.10.C 在ABD 中,由正弦定理得1sin=2sin,所以 sinADB=sin2=sin342=12,因为 B=34,所以ADB=6,BAD=12,BAC=6,ACB=12,sin12=sin3 4=sin3cos4-co
9、s3sin4=6-24,在ABC 中,由正弦定理得sin=sin,所以 AC=sinsin=1sin34sin 12=226-24=3+1.故选 C.11.32 332 由正弦定理得=sinsin=sinsin(+)=sinsincos+cossin=tansin+costan=233.将 tanB=12tanA 代入上式得 cosA=32,故 sinA=12.所以 SABC=12bcsinA=12233 12=332.12.185 或 0 如图,以 A 为坐标原点,分别以 AB,AC 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,3).由=m+(32-),得=m(+)
10、+(32-)(+),整理得=-2m+(2m-3)=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).又 AP=9,所以 64m2+(6m-9)2=81,解得 m=2725或 m=0.当 m=0 时,=(0,-9),此时,C,D 重合,CD=0;当 m=2725时,直线 PA 的方程为 y=9-68 x,直线 BC 的方程为4+3=1,联立两直线方程可得 x=83m,y=3-2m.即 D(7225,2125),CD=(7225)2+(2125-3)2=185.CD 的长度是185 或 0.13.-14 由题意得 BD=2AB=6,BC=2+2=2.D,E,F 重合于一点 P,AE=AD=3,BF=BD=6,在ACE 中,由余弦定理,得 CE2=AC2+AE2-2ACAEcosCAE=12+(3)2-213cos30=1,CE=CF=1.在BCF 中,由余弦定理,得cosFCB=2+2-22=22+12-(6)2221=-14.