1、课时规范练 26 平面向量的数量积与平面向量的应用 基础巩固组1.(2020 河北保定一模,文 4)已知 a 与 b 均为单位向量,若 b(2a+b),则 a 与 b 的夹角为()A.30B.45C.60D.1202.(2019 北京,理 7)设点 A,B,C 不共线,则“与 的夹角为锐角”是“|+|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020 全国 2,文 5)已知单位向量 a,b 的夹角为 60,则在下列向量中,与 b 垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b4.(2020 湖南郴州二模,文 7)已知向量 a=(2,-3
2、),b=(3,m),且 ab,则向量 a 在 a+b 方向上的投影为()A.262B.-262C.13D.-135.在ABC 中,若=(1,2),=(-x,2x)(x0),则当 BC 最小时,C=()A.90B.60C.45D.306.(2020 河北邢台模拟,理 3)设非零向量 a,b 满足|a|=3|b|,cos=13,a(a-b)=16,则|b|=()A.2B.3C.2D.57.(2020 辽宁大连模拟,文 9)已知扇形 OAB 的半径为 2,圆心角为23,点 C 是弧 AB 的中点,=-12 ,则 的值为()A.3B.4C.-3D.-48.已知平面向量,满足|=|=1,=0,且=12
3、,E 为OAB 的外心,则 =()A.-12B.-16C.16D.129.(2020 全国 1,理 14)设 a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.10.(2020 湖南长郡中学四模,理 13)已知向量 a=(1,2),b=(k,1),且 2a+b 与向量 a 的夹角为 90,则向量 a在向量 b 方向上的投影为 .11.(2020 山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin),c=(-1,0).(1)求向量 b+c 的模的最大值;(2)设=4,且 a(b+c),求 cos 的值.综合提升组12.(2020 皖豫名校联考,理 10)在菱形
4、 ABCD 中,ABC=120,AC=23,+12 =0,=,若 =29,则=()A.18B.17C.16D.1513.(2020 陕西西安中学八模,理 7)如图所示,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.12 13 B.12 14 C.12 15 D.12 16 14.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,AC 与 BD 相交于点 O,过点 A 作 AEBD,垂足为 E,则 =()A.725B.14425C.125D.122515.(2020 浙江,17)已知平面单位向量 e1,e2满足|2e1-e2|2,设 a=e1+e2,b=3e1+e2,向量
5、a,b 的夹角为,则 cos2 的最小值是 .16.已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若 ab,求 x 的值;(2)记 f(x)=ab,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.创新应用组17.已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 =32,则实数 m=()A.1B.32C.22D.12 参考答案 课时规范练 26 平面向量的数量积与平面向量的应用1.D b(2a+b),b2a+|b|2=0.又|a|=|b|=1,ab=-12,cos=|=-12,a 与 b 的夹角为 120.故选 D.2.C A,B,
6、C 三点不共线,|+|+|+|2|2 0 与 的夹角为锐角.故“与 的夹角为锐角”是“|+|”的充要条件,故选 C.3.D 由题意可知,ab=|a|b|cos60=12.对于 A,(a+2b)b=ab+2b2=520,不符合题意;对于 B,(2a+b)b=2ab+b2=20,不符合题意;对于 C,(a-2b)b=ab-2b2=-320,不符合题意;对于 D,(2a-b)b=2ab-b2=0,故 2a-b 与 b 垂直.故选 D.4.A 因为 ab,所以 ab=6-3m=0,解得 m=2,所以 b=(3,2),a=(2,-3),a+b=(5,-1),则a(a+b)=13,|a+b|=26,所以
7、a 在 a+b 方向上的投影为(+)|+|=1326=262.故选 A.5.A 由题意=(-x-1,2x-2),|=(-1)2+(2-2)2=52-6+5.令 y=5x2-6x+5,x0,当 x=35,ymin=165,此时 BC 最小,=(35,-65),=85,45,=35 85 65 45=0,即 C=90.故选 A.6.A|a|=3|b|,cos=13,a(a-b)=a2-ab=9|b|2-|b|2=8|b|2=16,|b|=2.故选 A.7.C 如图,连接 CO,点 C 是弧 AB 的中点,COAB,=0,又 OA=OB=2,=-12 ,AOB=23,=()=-12 =-12 ()=
8、12 12 2=1222-12-124=-3.8.A =0,又|=|=1,OAB 为等腰直角三角形.E 为OAB 的外心,E 为 AB 中点,|=12|=22 且BOE=45.=12 ,=13 ,=()=13 =-|cosBOE=-22 22=-12.9.3|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=1+1+2ab=1,ab=-12,|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2ab=3,|a-b|=3.10.-214529 因为向量 a=(1,2),b=(k,1),则 2a+b=(2+k,5),又因为 2a+b 与向量 a 的夹角为 90,所以(2a+b)a=0,即 2+k+
9、10=0,解得 k=-12,即 b=(-12,1),所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos=|=-10145=-214529.11.解(1)b+c=(cos-1,sin),则|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).因为-1cos1,所以 0|b+c|24,即 0|b+c|2.当 cos=-1 时,有|b+c|=2,所以向量 b+c 的模的最大值为 2.(2)若=4,则 a=22,22.又由 b=(cos,sin),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos-1,sin)=22 cos+22 sin-22.因为 a(b+c),所以 a(b+c)=0,即
10、cos+sin=1,所以 sin=1-cos,平方后化简得 cos(cos-1)=0,解得 cos=0 或 cos=1.经检验 cos=0 或 cos=1 即为所求.12.D 作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设 N(x,y).因为 AC=23,ABC=120,故 BO=1,因为+12 =0,所以=12 ,即 M 为 BC 的中点.所以 A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(3,0),则=332,12,=(3,1)=(x,y+1),由题可知0,故 N3,1-1,=3+3,1-1,所以 =5+4=29,解得=15.13.A 设边长|12|=a,易知P2P1P3=6,|13|=3a,则12 13=a3acos6=322;易知P2P1P4=3,|14|=2a,则12 14=a2acos3=a2;易知12 15=0,12 16 0,解得-2x2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-m,x1x2=2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,=(-x1,-y1),=(x2-x1,y2-y1),=32,=12-x1x2+12-y1y2=1-2-122-12+m2-m2=2-m2=32,解得 m=22.故选 C.
