1、重庆育才中学高2021届高三12月月考数学试题本试卷为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是( )A. B. C. D.2.已知等比数列的各项均为正数，且，则( ) A.16 B.14 C.8 D.43.双曲线的焦距为6，且其渐近线与圆相切，则双曲线的方
2、程为( ) A. B. C. D.4.函数在上的图象大致为( ) A.B.C.D.5.在正方形中，分别是的中点，若，则( )A. B.4 C. D.26.马林梅森(MarinMersenne，1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如(其中是素数)的素数，称为梅森素数在不超过50的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是( )A. B. C. D.7.已知，则的单调增区间为( )A. B. C. D.8.定义平面凸四边形为
3、平面上每个内角度数都小于的四边形已知在平面凸四边形中，设，则的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.下列命题中正确的有( ) A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.垂直于同一直线的两条直线相互平行C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上D.对于直线和两平面，若，则10.给出下列命题，其中正确命题为( )A.在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B.随机变
4、量服从正态分布，则C.，D.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是( ) A.当时， B.函数有四个零点C.若关于的方程有解，则实数的取值范围是D.对，恒成立12.已知数列中，且，则以下结论正确的是( )A. B.是单调递增数列 C.D.若，则(表示不超过的最大整数)第卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.复数的共轭复数在复平面上对应的点在第 象限.（用汉字一、二、三、四填写） 14.某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积是 . 15.已知点M是抛物线上的一动点
5、，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为 . 俯视图16.已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.( 10分)随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.(1)如果要用线性回归方程预测该杂志社2021年的纸质广告收入，现在有两个方案， 方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预
6、测从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？(2)某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率(i)若从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，求只购买纸质版本的概率；(ii)若从上述读者中随机调查3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率 18.( 12分)记数列的前项和为，已知，设 (1)证明：数列为等比数列；(2)设，为数列的前n项和，求俯视图19.( 12分)ABC中的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若.(1)求；(2)
7、若，点为边上一点，且，求的面积.20.( 12分)在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，(，不与端点重合).(1)求证：；(2)若，是否存在点，使得二面角所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21.( 12分)已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且(1)求椭圆的离心率； (2)已知经过点的直线与椭圆交于两点，作关于轴的对称点，若直线恒过定点，求椭圆的方程22.( 12分)已知函数，若在处的切线为(1)求实数的值；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围；(3)设，其中，证明：重庆育才中学高2021届高三12月月考
8、数学试题（答案）1-5 BCDAC 6-8 BAD 9 ACD 10 BD 11 AD 12 ABD13. 二 14. 15. 5俯视图 16. 8.【解】如图所示： ，在中，利用正弦定理： 当时，有最小值为 当时，有最大值为 （不能取等号）的取值范围是,故答案选D12.【答案】A：，所以B正确B：，而，则，所以A正确C：由A可知，则，累加得：，又易知，所以C错误D，又，由，且得，又是单调递增数列，则时，则，从而，得16.【解】因为在区间上单调，所以，因为，所以，所以，当，所以.故答案为：.17.【答案】 解：（1）选取方案二更合适，理由如下： 题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强
9、烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2021年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据. 相关系数 越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值 ，我们没有理由认为 与 具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值 ，所以认为 与 具有很强的线性相关关系.（2）（i）因为在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为 ，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，所以从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为 ，只购买纸质书的概率为 . （ii）购买电子书人
10、数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书.概率为： . 18.【答案】 解：（1）由得两式相减得，又由，数列是以2为首项以2为公比的等比数列.（2）由（）可得 ，俯视图19.【答案】 解：（1）,由正弦定理得，又，(2)，由余弦定理得，解得或（舍），.20.【答案】 （1）证明：（1）,且为线段的中点，四边形为平行四边形，平面,平面，平面又平面平面，又，且平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.（2）解：,为线段的中点，,又平面平面,平面平面,平面,以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即，不妨令，可得
11、,，设，,设平面的法向量，则，即，不妨令，可得，二面角所成角的余弦值为，,化简得，或（舍）,.21.【答案】 （1）设，是椭圆的左右焦点，连接，得到是平行四边形，则，又，得，在三角形中，解得（2） 由（1）可知设椭圆的方程为，易知的斜率存在，设的方程为，设，联立椭圆与直线的方程，得又三点共线，所以，所以即即，解得，于是直线的方程为，又直线过定点，于是，故椭圆方程为.22.【答案】（1）由，得；由，得根据题意可得，解得；（2）解法一：由不等式对任意恒成立知恒成立，令，显然为偶函数，故当时，恒成立，令，令，显然为上的增函数，故，即在上单调递增，当，即时，则有在上单调递增，故，则在上单调递增，故，符合题意；当，即时，因为，故存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，当时，故在上单谓递减，故与矛盾综上，解法二：由不等式对任意恒成立，知恒成立，当时，不等式成立；当时，令，由于为偶函数，故只需考虑的情况即可当时，令，令，当时，故在上单调递增，故因此当时，故在上单调递增，即有，故，所以在上单调递增，由洛必达法则有，故（3），由（），当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立故，当且仅当时等号成立因此有，以上个式子相加得