1、综合仿真练(二)1.(2019金陵中学模拟)如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是平行四边形已知平面SAB平面SBC，ASBS，M为线段SC的中点(1)求证：AS平面BDM; (2)若BSBC，求证：BMAC.证明：(1)设AC，BD交点为O，连接OM.底面ABCD是平行四边形O为AC的中点M为线段SC的中点，OMAS OM平面BDM，AS平面BDMAS平面BDM.(2)平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCBS，ASBS，AS平面SABAS平面SBC又BM平面SBC，ASBMBSBC，M为线段SC的中点BMSC又ASSCS，AS，SC平面SACBM平面SACAC平面SAC BMAC
2、.2已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求角C的大小；(2)若ABC的面积为2，ab6，求c.解：(1)由已知可得m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，ccos B(b2a)cos C0，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，即sin A2sin Acos C，sin A0，cos C，又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8，又c2a2b22abcos C，即(ab)23abc2，c212，故c2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右
3、顶点为A.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值解：(1)由已知得c1，又e，则a，b2a2c21，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明：设直线PQ的方程为yk(x)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，所以x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2k2，又A(，0)，所以kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1) x2k(x2) x12kx1x2(k)(x1x2)，故kAPkAQ1，所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.4.如图所示，某公路AB一
4、侧有一块空地OAB，其中OA3 km，OB3 km，AOB90.当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上(M，N不与A，B重合，M在A，N之间)，且MON30.(1)若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积解：(1)在OAB中，因为OA3，OB3，AOB90，所以OAB60.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos A7，所以OM，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON)sin(AOM90)cosAOM.在OMN中，由，得MN.(
5、2)法一：设AMx,0x3.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos Ax23x9，所以OM，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON)sin(AOM90)cosAOM .由，得ON.所以SOMNOMONsinMON，0x3.令6xt，则x6t,3t6，则SOMN.当且仅当t，即t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为.所以M的位置为距离A点63 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2.法二：设AOM，0，在OAM中，由，得OM在OAN中，由，得ON.所以SOMNOMONsinMON，0.当26090，即15时，SOMN的最小值为.所以应设计AO
6、M15，可使OMN的面积最小，最小面积是 km2.5已知数列ai共有m(m3)项，该数列前i项和为Si，记ri2SiSm(im，iN*). (1)当m10时，若数列ai的通项公式为ai2i1，求数列ri的通项公式；(2)若数列ri的通项公式为ri2i(im，iN*)，求数列ai的通项公式；数列ai中是否存在不同的三项按一定次序排列构成等差数列，若存在求出所有的项，若不存在请说明理由解：(1)因为Siii22i, 所以由题意得ri2SiS102i24i120(i10，iN*). (2)因为ri2SiSm2i，ri12Si1Sm2i1，两式相减得ai12i1，所以数列ai从第2项开始是以1为首项，
7、2为公比的等比数列，即ai2i2(2im，iN*)又2a12Sm，即a12(a2a3am)22m11.所以数列ai的通项公式为ai数列ai中任意三项都不能构成等差数列，理由如下： 因为数列ai从第2项开始是以2为公比的等比数列，所以若存在三项构成等差数列，不妨设为ap，aq，ar(2pqrm，p，q，rN*)，则有2aqapar，即22q22p22r2,2qp112rp.因为qp1N*，rpN*，所以上式左边为偶数，右边为奇数，此时无解所以数列ai从第2项至第m项中不可能存在三项构成等差数列， 所以若数列ai中存在三项构成等差数列，则只能是a1和第2项至第m项中的两项，不妨设为ap，aq(2p
8、qm，pN*，qN*)因为0apaqam2m1，所以该情况下也无解因此，数列ai中任意三项都不能构成等差数列6(2019泰州中学模拟)已知函数f(x)，g(x)1ax2(aR)(1)求函数f(x)的极值；(2)当0a0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以当x0时，函数f(x)存在极大值f(0)1，无极小值(2)令h(x)f(x)g(x)ax21，h(x)2ax2ax0a1，即ln0，令h(x)0，解得x0或xln当x(，0)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x时，h(x)0，h(x)单调递增 又h(0)0，h0， 函数h(x)在R上连续，所以h(x)有一个零点
9、0，且在上有一个零点，即函数h(x)有两个零点当0a时，方程f(x)g(x)的实根个数为2个(3)证明：法一：由(2)知，即证：当a1时，对于任意实数x1，)，不等式h(x)0恒成立a1，lnln 2.当ln1，即a时，则x(1,0)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minh(0)0，当x1时，h(x)0恒成立； 当1ln0，即1a0，h(x)单调递增；x，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minminh(0)，h(1)h(0)0，h(1)a10，当x1时，h(x)0恒成立； 综上：当a1时，对于任意实数x1，)，h(x)0恒成立，即不等式f(x)g(x)恒成立. 法二：由(2)知，即证：当a1时，对于任意实数x1，)，不等式h(x)0恒成立在x0时，a1，0，又x0，ex1得h(x)0，h(x)为在0，)上是增函数，故h(x)h(0)0；在1x0时，由于a1，所以ax21x21要证明h(x)0成立，即证x210，也即证(x1)0由于x10，只需证x10不妨令m(x)x1，m(x)1由1x0，得m(x)0且不恒为0，所以m(x)在区间1,0上单调递减，m(x)m(0)0，从而x10得证综上，当a1时，对于任意实数x1，)，h(x)0恒成立，即不等式f(x)g(x)恒成立.
