1、课时规范练 21 三角函数的图像与性质 基础巩固组 1.(2021 内蒙古呼伦贝尔二模)函数 f(x)=5cos 3x+6图像的对称中心是()A.k+9,5(kZ)B.k+9,0(kZ)C.3+9,5(kZ)D.3+9,0(kZ)答案:D 解析:令 3x+6=k+2(kZ),解得 x=3+9(kZ),则 f(x)图像的对称中心为3+9,0(kZ).2.(2021 哈尔滨师大附中模拟)4,34 是函数 f(x)=sin x(0)的两个相邻零点,则=()A.3 B.2 C.1 D.12 答案:B 解析:由题意知,f(x)=sinx 的周期 T=2=234 4=,得=2.3.(2021 浙江镇海中学
2、高三月考)已知奇函数 f(x)=cos(x+)(0,01)的最小正周期为8,则 log 的值是()A.2 B.-2 C.12 D.-12 答案:C 解析:f(x)为 R 上的奇函数,f(0)=0,即 cos()=0,又 00,2=8,解得=14.log=log1412=log2-22-1=-1-2log22=12.4.(2021 北京昌平二模)下列函数中,最小正周期为 的奇函数是()A.y=sin x+4 B.y=sin|x|C.y=cos2x-sin2x D.y=sin xcos x 答案:D 解析:A.y=sin x+4的最小正周期为 T=21=2,不符合题意;B.记 f(x)=sin|x
3、|,所以 f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),且 f(x)的定义域为 R,所以 f(x)为偶函数,不符合题意;C.y=cos2x-sin2x=cos2x,显然为偶函数,不符合题意;D.y=sinxcosx=12sin2x 最小正周期为 T=22=,且为奇函数,符合题意.故选 D.5.(2021 安徽六安模拟)已知函数 f(x)=cos x+6(0)的最小正周期为,则该函数图像()A.关于直线 x=6 对称 B.关于点6,0 对称 C.关于直线 x=3 对称 D.关于点3,0 对称 答案:B 解析:f(x)=cos x+6(0)的最小正周期为,则=2,即=2,所以 f(x)=co
4、s 2x+6.由 2x+6=k,kZ,可得 x=12k-12,kZ,所以 f(x)的图像的对称轴为直线 x=12k-12,kZ,故 A,C 不正确.由 2x+6=k+2,kZ,可得 x=12k+6,kZ,所以 f(x)的图像的对称中心为12k+6,0,kZ,故 B 正确,D 不正确.6.(2021 上海外国语大学附属大境中学高三月考)已知 f(x)=cos x+3,0.在 x0,2内的值域为-1,12,则 的取值范围是()A.23,43 B.0,13 C.0,23 D.13,23 答案:D 解析:因为 x0,2,所以 x+33,2+3.又因为 f(x)的值域为-1,12,结合余弦函数图像(如图
5、).可知 2+3 53,解得 13,23.7.(2021 北京 101 中学高三月考)函数 f(x)=cos22x 的最小正周期是 .答案:2 解析:由已知得 f(x)=1+cos(22)2=12cos4x+12,其最小正周期为 T=24=2.8.(2021 广西南宁三中高三月考)已知 f(x)=sin(2x+)(0)是偶函数,则 f6=.答案:12 解析:f(x)=sin(2x+)(0)是偶函数,则=2+k(kZ),而 00,所以 a 的值为4.12.(2021 浙江湖州模拟)若函数 f(x)=sin x+4在区间-12,0 内单调,且 P8,0 是 f(x)的一个对称中心,则 的值可以是(
6、)A.6 B.-10 C.9 D.-4 答案:A 解析:sin 8+4=0,解得 8+4=k,=8k-2(kZ).若 0,则-12+4-2,解得 9;若 0,则-12+4 2,解得-3;故=-2,或=6.如图所示,经检验符合题意.13.(2021 云南峨山模拟)函数 y=sin 2x-6的图像在(-,)上有 条对称轴.答案:4 解析:由 2x-6=2+k,kZ,求得对称轴为直线 x=3+2,kZ,由-3+2,kZ,解得-83k0)在-12,12 上是单调的,则 的最大值是 .答案:4 解析:由题可得 f(x)=2cos x+3,0,由 kx+3 k+(kZ),得-3x+23(kZ),令 k=0
7、,得-3x23,故 f(x)在-3,23 上是单调的,于是-3-12 12 23,得 00),若有且仅有一个实数 m 满足:0m2;x=m 是函数 f(x)图像的对称轴.则 的取值范围是 .答案:13,73 解析:因为 f(x)=sinx+3cosx=2sin x+3,由于 x=m 是函数 f(x)图像的对称轴,则 m+3=2+k(kZ),所以 m=(6+1)6(kZ).因为 0m2,所以 0(6+1)62.因为 0,所以 kN,当 k 增大时,(6+1)6增大,由于有且只有一个实数 m 满足:0m2;x=m 是函数 f(x)图像的对称轴,所以 m=6,则有6 2,76 2,解得130,-12
8、2,给出以下四个论断:f(x)的最小正周期为;f(x)在区间-6,0 上是增加的;f(x)的图像关于点3,0 对称;f(x)的图像关于直线 x=12对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为的一个真命题(写成“pq”的形式).(用到的论断都用序号表示)答案:(或)解析:若 f(x)的最小正周期为,则=2,函数 f(x)=sin(2x+).同时若 f(x)的图像关于直线 x=12对称,则 sin 212+=1,又-122,212+=2,=3,此时 f(x)=sin 2x+3,成立,故.若 f(x)的最小正周期为,则=2,函数 f(x)=sin(2x+),同时若 f(x)的图像关于点3,0 对称,则 23+=k,kZ,又-122,=3,此时 f(x)=sin 2x+3,成立,故.