1、课时达标训练(二十三) 随机变量与分布列A组1(2018南京学情调研)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球(1)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(2)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望解：(1)两个球颜色不同的情况共有C4296(种)(2)随机变量X所有可能的值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的概率分布列为X0123P所以E(X)0123.2(2019苏锡常镇一模)从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测
2、，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数(1)问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X3)”哪个大？请说明理由；(2)求随机变量X的数学期望E(X)解：批量较大，可以认为随机变量XB(10，0.05)(1)恰好有2件不合格的概率P(X2)C0.0520.958，恰好有3件不合格的概率P(X3)C0.0530.957，1，P(X2)P(X3)，即恰好有2件不合格的概率大(2)令p0.05，P(Xk)pkCpk(1p)10k，k0，1，2，10.随机变量X的概率分布为X01210PCp0(1p)10Cp1(1p)
3、9Cp2(1p)8Cp10(1p)0故E(X)10,k0kpk100.050.5.3(2019南通、泰州等七市三模)现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示表1文章学习积分12345概率表2视频学习积分246概率(1)现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；(2)现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望解：(
4、1)由题意知，获得的积分不低于9分的情形有：文章学习积分3455视频学习积分6646因为两类学习互不影响，所以概率P，所以每人每日学习积分不低于9分的概率为.(2)随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)知每人每日学习积分不低于9分的概率为，则P(0)；P(1)C；P(2)C；P(3).所以随机变量的概率分布为0123P所以E()0123.所以随机变量的数学期望为.4已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为，某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验，若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立)，用表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值(1)
5、求随机变量的概率分布和数学期望；(2)求不等式x2x10的解集为R的概率解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0，1，2，3，4，对应的未发芽的种子数为4，3，2，1，0，所以的所有可能取值为0，2，4，P(0)C，P(2)CC，P(4)CC.所以随机变量的概率分布为024P数学期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值为0，2，4，当0时，代入x2x10，得10，对xR恒成立，即解集为R；当2时，代入x2x10，得2x22x10，即20，对xR恒成立，即解集为R；当4时，代入x2x10，得4x24x10，其解集为x，不满足题意所以不等式x2x10的解集为R的概率PP(0)P
6、(2).B组 1(2018镇江期末)某学生参加4门学科的学业水平测试，每门得A等级的概率都是，该学生各学科等级成绩彼此独立规定：有一门学科获A等级加1分，有两门学科获A等级加2分，有三门学科获A等级加3分，四门学科获A等级则加5分记X1表示该生的加分数，X2表示该生获A等级的学科门数与未获A等级学科门数的差的绝对值(1)求X1的数学期望；(2)求X2的分布列解：(1)记该学生有i门学科获得A等级为事件Ai，i0，1，2，3，4.X1的可能取值为0，1，2，3，5.则P(Ai)C，即P(A0)，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4)，则X1的分布列为X101235P所以E(X1)0123
7、5.(2)X2的可能取值为0，2，4，则P(X20)P(A2)；P(X22)P(A1)P(A3)；P(X24)P(A0)P(A4).所以X2的分布列为X2024P2.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0；当p(0.1，1)时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验3.如图，设P1，P2，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点，现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为
8、随机变量S.(1)求S的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S)解：(1)从六个点中任选三个不同点构成一个三角形共有C种不同选法，其中S的为有一个角是30的直角三角形(如P1P4P5)，共6212种，所以P.(2)S的所有可能取值为，.S的为顶角是120的等腰三角形(如P1P2P3)，共6种，所以P.S的为等边三角形(如P1P3P5)，共2种，所以P.又由(1)知P，故S的分布列为SP所以E(S).4(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药
9、一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0，1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1，2，7)
10、，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0，1，2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解：(1)X的所有可能取值为1，0，1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0，1，2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理