1、单元质检卷四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:140分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021山东威海模拟)已知一个等腰三角形是黄金三角形,其底与腰的长度的比值为黄金比值(即黄金分割值5-12,该值恰好等于2sin 18),则sin 100cos 26+cos 100sin 26=()A.-5+24B.5+24C.-5+14D.5+14答案:D解析:由已知可得2sin18=5-12,故sin18=5-14,则sin100cos26+cos100sin26=sin126=sin(36+90)=cos36=1-2si
2、n218=1-25-142=5+14.2.(2021全国乙,文6)cos212-cos2512=()A.12B.33C.22D.32答案:D解析:原式=cos212-cos22-12=cos212-sin212=cos6=32.3.(2021山东青岛一模)已知角终边上有一点Ptan43,2sin-176,则cos 的值为()A.12B.-12C.-32D.32答案:D解析:因为tan43=tan+3=tan3=3,sin-176=sin-2-+6=sin-+6=-sin-6=-sin6=-12,即2sin-176=-1,所以P(3,-1).所以cos=3(3)2+(-1)2=32.4.(202
3、1湖北黄冈中学高三月考)在ABC中,C=60,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=()A.35B.31C.6D.5答案:B解析:因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1.因为C=60,所以c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-21612=31,解得c=31.5.(2021四川眉山三诊)已知函数f(x)=sin4x-6,若将f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后向右平移(0)个单位长度,得到函数g(x)的图像,且函数g(x)的图像关于y轴对称,则的最小值是()A.3B.6C.12D.24答案:B解析:函数f(x)=
4、sin4x-6的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=sin2x-6,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin2(x-)-6=sin2x-2-6.由g(x)的图像关于y轴对称,故-2-6=2+k,kZ,即=-3-k2,kZ,又0,所以当k=-1时,=-3+2=6.6.(2021全国甲,理9)若0,2,tan 2=cos2-sin,则tan =()A.1515B.55C.53D.153答案:A解析:由题意sin2cos2=cos2-sin,2sincos1-2sin2=cos2-sin,因为0,2,所以cos0,所以2sin1-2sin2=12-sin,解得sin=14,则cos=1
5、-142=154,所以tan=1515.7.(2021山东莱州一中高三月考)若函数y=cos x(0)的图像在区间-2,4上只有一个对称中心,则的取值范围为()A.(1,2B.1,2)C.(1,3D.1,3)答案:A解析:y=cosx(0)在区间-2,4上只有一个对称中心,cosx=0在该区间只有一个零点,又x-2,4,42,-32-2-2,10,-22的图像关于直线x=23对称,它的最小正周期是,则下列说法正确的个数为()将f(x)的图像向右平移|个单位长度得到函数y=2sin x的图像;f(x)的图像过点(0,1);f(x)的图像的一个对称中心是512,0;f(x)在12,23上是减少的.
6、A.1B.2C.3D.4答案:B解析:由函数f(x)=2sin(x+)的最小正周期为,可得2=,所以=2.因为图像关于直线x=23对称,所以223+=2+k,kZ,所以=-56+k,kZ,又-20,0,|2的部分图像如图所示,则下列说法错误的是()A.函数f(x)的图像可由y=Acos(x)的图像向右平移12个单位长度得到B.函数f(x)在区间-3,12上是增加的C.函数f(x)在区间-2,0上的值域为-2,3D.直线x=56是函数f(x)图像的一条对称轴答案:D解析:根据图像可得A=2,f(0)=3,所以2cos=3,故=6.结合图像可得=-6,又3-6=2,所以=2,所以函数的解析式为y=
7、2cos2x-6.对于A,f(x)=2cos2x-6=2cos2x-12,故可由y=2cos(2x)的图像向右平移12个单位长度得到f(x)的图像,故A正确;对于B,f(x)的递增区间为-512+k,12+k(kZ),故-512,12是它的一个递增区间,而-3,12-512,12,故B正确;对于C,x-2,0,所以2x-6-76,-6,结合余弦函数的图像可得y-2,3,故C正确;对于D,f56=2cos106-6=2cos32=0,不是函数的最值,故直线x=56不是函数f(x)图像的对称轴,故D错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏南通模拟)已知角的终边经过
8、点(-3,4),则cos32+的值是.答案:45解析:因为角的终边经过点(-3,4),所以sin=45,所以cos32+=sin=45.14.(2021河北唐山模拟)若322,化简1-cos1+cos+1+cos1-cos=.答案:-2sin解析:1-cos1+cos=(1-cos)2(1+cos)(1-cos)=(1-cos)2sin2=1-cos|sin|,1+cos1-cos=(1+cos)2(1-cos)(1+cos)=(1+cos)2sin2=1+cos|sin|,1-cos1+cos+1+cos1-cos=1-cos|sin|+1+cos|sin|=2|sin|.又322,1-co
9、s1+cos+1+cos1-cos=-2sin.15.(2021陕西西北工大附中高三月考)将函数f(x)的图像向左平移3个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标保持不变)得到g(x)=sinx2+4的图像,则f(x)的解析式为.答案:f(x)=sin2x-512解析:将g(x)=sinx2+4图像上所有点的横坐标缩短为原来的14(纵坐标保持不变),得到h(x)=sin2x+4,再将h(x)的图像向右平移3个单位长度得到f(x)=hx-3=sin2x-512.16.(2021山东滨州二模)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米
10、勒问题”.如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(cb,所以AB,故只能选不能选,所以选.(2)(方法1)因为cosA=12,所以A=3.又因为asinA=bsinB,且a=3,b=1,所以sinB=12,所以B=6,所以C=2,所以c=a2+b2=2.(方法2)因为a2=b2+c2-2bccosA,且cosA=12,a=3,b=1,所以c2-c-2=0,所以c=2.18.(15分)(2021山西太原三模)如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为=30,=45,=30,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100 m,BE=33 m
11、,BC=100 m.(1)求PB的长;(2)求隧道DE的长.(精确到1 m)附:21.414;31.732.解:(1)由题意,=45,=30,所以BCP=30,BPC=15,又BC=100,所以BCsinBPC=PBsinBCP,即100sin15=PBsin30,得PB=50(6+2)193m.(2)因为=30,=45,所以A=30,APB=105,所以ABsinAPB=PBsinA,即ABsin105=50(6+2)sin30,得AB=50(6+2)6+2412=25(8+43)373m,所以DE=AB-AD-BE=373-100-33=240m.19.(15分)(2021安徽池州一模)已
12、知函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|2的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的函数解析式;(2)在ABC中,角A为三角形内角且f(A)=1,AD是BAC的角平分线,AB=1,AC=3,求AD的长度.解:(1)由图可知A=2,T4=4,即T=,根据T=2,得=2,由f6=2得26+=2+2k,kZ,又因为|2,所以=6.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+6.(2)由f(A)=1可得A=3,因为AD为BAC的角平分线,所以BAD=DAC=6.又因为SABC=SABD+SACD,即12ABACsinBAC=12ABADsinBAD+12ACADsinCAD,将AB=1,AC
13、=3代入可得AD=334.20.(15分)(2021北京海淀模拟)在四边形ABCD中,ABD=30,BCD=120.(1)从下列三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,要求构成一个真命题,并给出证明;AB+AD=6;BD=3AD;AB=4sinADB.备选:从上述三个等式中再选择两个作为条件,剩余的一个作为结论,构成一个命题,判断该命题的真假并给出证明;(2)在(1)中真命题的条件下,求BCD周长的最大值;(3)在(1)中真命题的条件下,连接AC,求ABC面积的最大值.解:(1)为假命题,证明如下:在ABD中,BD=3AD,ABD=30,由正弦定理,知sinA=3sinABD=32,
14、0A180,A=60或A=120.当A=60时,ADB=90,AB=2AD,又AB+AD=6,AB=4,AD=2,此时sinADB=1,AB=4sinADB成立.当A=120时,ABD=ADB=30,AB=AD.又AB+AD=6,AB=AD=3,此时sinADB=12,AB4sinADB.故为假命题.为假命题,证明如下:AB=4sinADB,ABD=30,由正弦定理,得ADsinABD=ABsinADB,AD=ABsinADBsinABD=412=2,BD=3AD=23.BDsinA=ADsinABD,sinA=23122=32.0A180,A=60或A=120.当A=60时,ADB=90,此
15、时AB=4,AB+AD=6.当A=120时,ADB=30,此时AB=AD=2,AB+AD6.故为假命题.为真命题,证明如下:由正弦定理,得ADsinABD=ABsinADB,AD=ABsinADBsinABD=412=2.AB+AD=6,AB=4,sinADB=1,ADB=90,BD=ABcos30=23=3AD,证毕.(2)由(1)知,ABD为直角三角形,且AB=4,BD=23,AD=2,在BCD中,由余弦定理,得cosBCD=BC2+CD2-BD22BCCD,即-12=(BC+CD)2-2BCCD-122BCCD,整理得(BC+CD)2=BCCD+12BC+CD22+12,34(BC+CD)212,BC+CD的最大值为4,当且仅当BC=CD=2时,等号成立.BCD的周长最大值为4+23.(3)由(1)知BD=23,AB=4,ABD=30.设BC=m,m(0,23),DBC=,060.在BCD中,BCsinBDC=BDsinBCD,即msin(60-)=23sin120,可得m=4sin(60-),ABC的面积S=12ABBCsinABC=124msin(30+)=1244sin(60-)sin(30+)=8sin(60-)cos(60-)=4sin(120-2).060,0120-2120.当120-2=90,即=15时,ABC的面积取得最大值4.